Фундаментальная арифметическая функция, изучаемая со времён древнегреческих математиков до современных исследований в теории чисел
Историческая справка
VI век до н.э.
Пифагорейцы — первые исследования делителей, совершенные и дружественные числа.
≈300 до н.э.
Евклид — «Начала», алгоритм НОД, основы делимости.
≈250 н.э.
Диофант — «Арифметика», делители в диофантовых уравнениях.
1801
Гаусс — строгое определение τ(n), мультипликативность.
1915
Рамануджан — highly composite numbers, средний порядок τ(n).
📌 Рамануджан популяризировал обозначение τ(n); Гаусс использовал d(n).
Определение
📐 Формально
Для натурального \(n\): \(\tau(n) = |\{ d \in \mathbb{N}^+ : d \mid n \}|\).
\[ \tau(n) = \prod_{i=1}^k (\alpha_i + 1), \quad n = p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k} \]
Мультипликативность
\(\tau(ab)=\tau(a)\tau(b)\) при \(\gcd(a,b)=1\)
Простые числа
\(\tau(p)=2\)
Квадраты
\(\tau(n)\) нечётно ⇔ \(n\) — полный квадрат
Таблица τ(n)
Выделены квадраты (нечётное τ).
| n | τ(n) | n | τ(n) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 26 | 4 |
| 2 | 2 | 27 | 4 |
| 3 | 2 | 28 | 6 |
| 4 | 3 | 29 | 2 |
| 5 | 2 | 30 | 8 |
| 6 | 4 | 31 | 2 |
| 7 | 2 | 32 | 6 |
| 8 | 4 | 33 | 4 |
| 9 | 3 | 34 | 4 |
| 10 | 4 | 35 | 4 |
| 11 | 2 | 36 | 9 |
| 12 | 6 | 37 | 2 |
| 13 | 2 | 38 | 4 |
| 14 | 4 | 39 | 4 |
| 15 | 4 | 40 | 8 |
| 16 | 5 | 41 | 2 |
| 17 | 2 | 42 | 8 |
| 18 | 6 | 43 | 2 |
| 19 | 2 | 44 | 6 |
| 20 | 6 | 45 | 6 |
| 21 | 4 | 46 | 4 |
| 22 | 4 | 47 | 2 |
| 23 | 2 | 48 | 10 |
| 24 | 8 | 49 | 3 |
| 25 | 3 | 50 | 6 |
Формулы
📘 Пример: 72
\(72=2^3\cdot 3^2\) ⇒ \(\tau(72)=(3+1)(2+1)=12\)
📙 Пример: 100
\(100=2^2\cdot5^2\) ⇒ \(\tau(100)=3\cdot3=9\) (квадрат → нечётно)
📕 Пример: 2310
\(2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\) ⇒ \(\tau=2^5=32\)
Задания
1.1 Начальный уровень🌱
Вычислите τ(28), числа от 1 до 30 с 4 делителями, проверка квадрата 144.
τ(28)=6; числа с 4 делителями: 6,8,10,14,15,21,22,26,27; 144 — квадрат (τ нечётно).
2.1 Средний уровень🍃
Найдите числа до 100 с 8 делителями; докажите, что τ(n)=3 ⇒ n=p²; наименьшее с 15 делителями.
24,30,40,42,54,56,66,70,78,88; n=p²; 144.
3.1 Продвинутый🌿
Докажите: τ(n) нечётно ⇔ n — квадрат; асимптотика суммы τ(k); τ(n)=1 только при n=1.
Все показатели чётны ⇒ квадрат; сумма ∼ n ln n + (2γ−1)n; n=1.
Применение
Криптография
Оценка количества делителей при факторизации.
Статистика
Распределение делителей в теории чисел.
Олимпиады
Классические задачи на делители.
Калькулятор количества делителей
1. Введённое число
n =
2. Каноническое разложение
3. Формула для \(\tau(n)\)
4. Количество делителей
\(\tau(n)\)=