Анализ графиков функции и её производной

Основная идея

Функция f(x) показывает значение величины в точке.
Производная f'(x) показывает скорость изменения этой величины. Геометрически — это угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к графику f(x) в точке x.

Как по графику f(x) понять, где f'(x) положительна, отрицательна или равна нулю?

Смотрим на наклон касательной к графику f(x):

f'(x) > 0 (Производная положительна):
- График f(x) возрастает на этом промежутке (при движении слева направо он идет вверх).
- Касательная к графику образует острый угол с положительным направлением оси OX.
f'(x) < 0 (Производная отрицательна):
- График f(x) убывает на этом промежутке (при движении слева направо он идет вниз).
- Касательная к графику образует тупой угол с положительным направлением оси OX.
f'(x) = 0 (Производная равна нулю):
- Это точки экстремума (максимума или минимума) или точки перегиба (редко, но бывает).
- Касательная к графику в этой точке горизонтальна.
- Чаще всего это вершины «горок» (максимумы) и впадины «ложек» (минимумы).

Как по графику f'(x) понять, что происходит с функцией f(x)?

Это обратная задача, но она решается по тем же принципам.

Где график f'(x) лежит ВЫШЕ оси OX (f'(x) > 0):
- Функция f(x) возрастает.
Где график f'(x) лежит НИЖЕ оси OX (f'(x) < 0):
- Функция f(x) убывает.
Где график f'(x) ПЕРЕСЕКАЕТ ось OX (f'(x) = 0):
- У функции f(x) в этой точке возможен экстремум (максимум или минимум). Это «критическая точка».

Связь экстремумов f(x) с графиком f'(x)

Это самое важное практическое применение.

Точка максимума f(x): Производная f'(x) меняет знак с «+» на «-« при переходе через эту точку. График f'(x) пересекает ось OX сверху вниз.
Точка минимума f(x): Производная f'(x) меняет знак с «-» на «+» при переходе через эту точку. График f'(x) пересекает ось OX снизу вверх.

Важно: Если f'(x) не меняет знак при переходе через точку, где f'(x)=0 (например, f'(x) = x³ в точке 0), то это точка перегиба, а не экстремум.

Как по графику f'(x) понять, где f(x) выпукла вверх или вниз?

Выпуклость функции f(x) определяется знаком второй производной f''(x). А вторая производная — это производная от первой, то есть скорость изменения самой производной f'(x).

f(x) выпукла вниз (как чашка ∪):
- Это означает, что f''(x) > 0.
- На графике f'(x) это соответствует участкам, где сама производная возрастает (график f'(x) идет вверх).
f(x) выпукла вверх (как крыша ∩):
- Это означает, что f''(x) < 0.
- На графике f'(x) это соответствует участкам, где сама производная убывает (график f'(x) идет вниз).
Точка перегиба f(x):
- Это точка, где меняется выпуклость.
- На графике f'(x) этой точке соответствует экстремум (максимум или минимум), так как именно в ней производная f'(x) меняет своё поведение с возрастания на убывание или наоборот.

Примеры для закрепления

Посмотрите на график ниже.

Давайте проанализируем функцию f(x), глядя на график её производной f'(x).

Что мы видим на графике `f'(x)`?	Что это означает для функции `f(x)`?
`f'(x) > 0` (выше оси OX)	`f(x)` возрастает
`f'(x) < 0` (ниже оси OX)	`f(x)` убывает

Если производная положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает.
Среди указанных точек производная положительна в точках x₄, x₅, x₆. Таких точек всего три.

Давайте проанализируем функцию f(x), глядя на график её производной f'(x).

Что мы видим на графике `f'(x)`?	Что это означает для функции `f(x)`?
`f'(x) > 0` (выше оси OX)	`f(x)` возрастает
`f'(x) < 0` (ниже оси OX)	`f(x)` убывает
`f'(x) = 0` (пересекает OX)	Критическая точка (возможен экстремум или перегиб)
`f'(x)` меняет знак с + на —	Локальный максимум `f(x)`
`f'(x)` меняет знак с — на +	Локальный минимум `f(x)`

На отрезке [−18; 1] производная обнуляется пять раз — в точках x₁ = −16, x₂ = −13, x₃ = −9, x₄= −3, x₅= −1.
В точке x₁ = −16 производная поменяла знак с «–» на «+».
В точке x₂ = −13 производная поменяла знак с «+» на «–».
В точке x₃ = −9 производная поменяла знак с «–» на «+».
В точке x₄ = −3 производная поменяла знак с «+» на «–».
В точке x₅ = −1 производная поменяла знак с «–» на «+».
Значит, x₁ = −16, x₃ = −9, x₅ = −1 — точки минимума на отрезке [−18; 1].
Таким образом, функция f(x) имеет 3 точки минимума, принадлежащих отрезку [−18; 1].

Производная в точке — это тангенс угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Если касательная идёт вверх, производная положительна.
Если касательная идёт вниз, производная отрицательна.
Чем круче наклон (вверх или вниз), тем больше по модулю производная.

Нам нужно найти точку с наибольшим значением производной — то есть:

Самое большое положительное число (если есть),
Или среди отрицательных — самое близкое к нулю,
Но лучше всего — где касательная идёт резко вверх.

На промежутках возрастания функции производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна, следовательно, нужно сравнить значение производной в точках на промежутках возрастания — в точках x = −4 и x = 5.

Значение производной в x = x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке x₀, следовательно, среди положительных значений оно больше в той точке, где угол наклона касательной больше. Если провести касательные к данному графику в точках x = −4 и x = 5, то угол наклона касательной в точке x = 5 будет больше, следовательно, и значение производной в этой точке будет больше.

Дополнительно

https://uchus.online/tasks/bank/40

Источник: ссылка

Источник: ссылка