Четырехугольник вписан в окружность — 2

От /

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 48 и 74. Найдите больший из оставшихся углов.

Больший угол вписанного четырёхугольника
⬢
Четырёхугольник, вписанный в окружность
∠
Два угла равны \( 48^\circ \) и \( 74^\circ \)
🎯
Найти: больший из оставшихся углов (в градусах)

Теория

Свойство вписанного четырёхугольника

В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна \( 180^\circ \).

\[ \angle A + \angle C = 180^\circ, \quad \angle B + \angle D = 180^\circ \]

Сумма углов четырёхугольника

Сумма всех углов любого четырёхугольника равна \( 360^\circ \).

\[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ \]

Решение

1

Пусть в четырёхугольнике \( ABCD \) известны два угла. Возможны два случая:

  1. Известные углы являются противоположными
  2. Известные углы являются соседними
2

Случай 1: известные углы противоположные

Если \( \angle A = 48^\circ \) и \( \angle C = 74^\circ \) — противоположные, то их сумма:

\[ 48^\circ + 74^\circ = 122^\circ \neq 180^\circ \]

Это противоречит свойству вписанного четырёхугольника (сумма противоположных углов должна быть \( 180^\circ \)). Значит, этот случай невозможен.

3

Случай 2: известные углы соседние

Пусть \( \angle A = 48^\circ \) и \( \angle B = 74^\circ \) — соседние углы.

Тогда противоположный к \( \angle A \) угол \( \angle C \) равен:

\[ \angle C = 180^\circ — \angle A = 180^\circ — 48^\circ = 132^\circ \]

Противоположный к \( \angle B \) угол \( \angle D \) равен:

\[ \angle D = 180^\circ — \angle B = 180^\circ — 74^\circ = 106^\circ \]
4

Проверка по сумме углов четырёхугольника:

\[ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 48^\circ + 74^\circ + 132^\circ + 106^\circ = 360^\circ \]

Сумма равна \( 360^\circ \), что верно.

5

Оставшиеся углы: \( \angle C = 132^\circ \) и \( \angle D = 106^\circ \).

Больший из них:

\[ \angle C = 132^\circ \]
6

Если предположить другую расстановку (например, \( \angle A = 74^\circ \), \( \angle B = 48^\circ \)), результат не изменится:

\[ \angle C = 180^\circ — 74^\circ = 106^\circ \]
\[ \angle D = 180^\circ — 48^\circ = 132^\circ \]

Больший угол всё равно равен \( 132^\circ \).

Больший из оставшихся углов:
\( 132^\circ \)
Прокрутить вверх