Числовые неравенства и их свойства

Что такое числовое неравенство?

Числовые неравенства — это соотношения между числами, показывающие, какое из них больше или меньше. Они записываются с помощью знаков <, >, ≤, ≥. Например, если a < b, значит число a меньше числа b.

Основные свойства числовых неравенств

Эти свойства позволяют нам преобразовывать неравенства, решать их и доказывать.

Антисимметричность

Это свойство позволяет записывать неравенство в обратном порядке, меняя знак.

• Если a > b, то b < a
• Пример: Неравенство 10 > 6 полностью равносильно неравенству 6 < 10.

Транзитивность (Свойство цепочки)

Это свойство цепочки неравенств. Если число a больше числа b, а b больше c, то a гарантированно больше c.

• Если a < b и b < c, то a < c. Аналогично работает для знаков >, ≤ и ≥.
• Пример: 15 > 10 и 10 > 7, значит, 15 > 7.

Сложение/Вычитание числа

Если к обеим частям верного неравенства прибавить (или вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство.

• Пример: Дано 8 > 5. Прибавим к обеим частям число 2:
  8 + 2 > 5 + 2 → 10 > 7 (верно).
• Пример: Дано 8 > 5. Вычтем из обеих частей число 3:
  8 - 3 > 5 - 3 → 5 > 2 (верно).
• Следствие: Можно переносить слагаемые из одной части неравенства в другую, меняя их знак на противоположный: a + b > c ⇔ a > c - b. Пример: x + 5 < 10 ⇔ x < 10 - 5

Умножение/Деление на число

Результат зависит от знака числа c:

Если c > 0 (положительное), то знак неравенства сохраняется:
a < b ⇒ a * c < b * c и a / c < b / c

Если c < 0 (отрицательное), то знак неравенства меняется на противоположный:
a < b ⇒ a * c > b * c и a / c > b / c

• Пример: Дано 12 > 9. Разделим обе части на 3:
  12 / 3 > 9 / 3 → 4 > 3 (верно).
• Пример: Дано 6 < 15. Умножим обе части на 2:
  6 * 2 < 15 * 2 → 12 < 30 (верно).
• Пример: Дано 12 > 9. Умножим обе части на *-1*:
  12 * (-1) < 9 * (-1) → -12 < -9 (знак > поменялся на <, и это верно!).
• Пример: Дано 6 < 15. Разделим обе части на *-3*:
  6 / (-3) > 15 / (-3) → -2 > -5 (знак < поменялся на >, и это верно!).

!При умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный!

Сложение неравенств

Если почленно сложить верные неравенства одного знака, то получится верное неравенство.

Если a < b и c < d, то a + c < b + d.

• Важно: Неравенства должны быть одного смысла (оба знака < или оба >).
• Пример:
  5 > 2
7 > 1
  Сложим: 5 + 7 > 2 + 1 → 12 > 3 (верно).

Умножение неравенств

Если почленно перемножить верные неравенства одного знака, у которых левые и правые части положительны, то получится верное неравенство.

Если 0 < a < b и 0 < c < d (все числа положительные), то a * c < b * d.

• Внимание! Это свойство работает только для положительных чисел. Если числа отрицательные, правила сложные и это свойство неприменимо.
• Пример:
  6 > 3 (обе части положительны)
  10 > 2 (обе части положительны)
  Перемножим: 6 * 10 > 3 * 2 → 60 > 6 (верно).

Возведение в натуральную степень

Если 0 < a < b, то для любого натурального n верно: a^n < b^n.

• Пример: 2 < 4 ⇒ 2³ < 4³ (8 < 64).
• Для отрицательных чисел свойство не работает или работает иначе. Например: -5 < 2, но (-5)² > 2² (25 > 4).

---

Типовые задания и примеры решения

Задание 1. Оцените значение выражения x + y, если известно, что 4 < x < 7 и -2 < y < 5.

Решение:
Нужно сложить два двойных неравенства.
4 < x < 7
+ -2 < y < 5
______________
4 + (-2) < x + y < 7 + 5
2 < x + y < 12

Ответ: 2 < x + y < 12

Задание 2. Оцените значение выражения 3x - 2y, если известно, что 1 < x < 4 и 2 < y < 3.

Решение:

1. Сначала оценим 3x. Умножим все части неравенства на 3 (положительное число, знак не меняется):
   1 * 3 < 3x < 4 * 3 → 3 < 3x < 12
2. Теперь оценим 2y. Умножим все части неравенства на 2 (положительное число, знак не меняется):
   2 * 2 < 2y < 3 * 2 → 4 < 2y < 6
3. Нам нужно -2y. Умножим все части последнего неравенства на -1 (отрицательное число, знаки меняются!):
   4 * (-1) > -2y > 6 * (-1) → -4 > -2y > -6. Лучше записать по порядку: -6 < -2y < -4
4. Теперь сложим два полученных неравенства:
   3 < 3x < 12
+ -6 < -2y < -4
______________
3 + (-6) < 3x - 2y < 12 + (-4)
-3 < 3x - 2y < 8

Ответ: -3 < 3x - 2y < 8

Задание 3. Сравните числа a и b, если известно, что a - b = -0.1.

Решение:
Если a - b – отрицательное число (-0.1 < 0), значит, a меньше b.
a - b < 0 ⇒ a < b

Ответ: a < b

Задание 4. Докажите, что если a > b и c > d, то a - d > b - c.

Решение:
Воспользуемся свойствами.

1. Из c > d по свойству 3 (вычитание) следует -c < -d. (Умножили на -1, знак поменялся).
2. Теперь у нас есть: a > b и -c < -d. Неравенства разного знака, их нельзя просто сложить. Но нам нужно a - d.
3. Преобразуем a - d как a + (-d). А b - c как b + (-c).
4. Из пункта 1 мы знаем, что -c < -d. А по свойству сложения, если a > b и -d > -c (перевернули неравенство из п.1), то:
   a + (-d) > b + (-c), что и требовалось доказать.

---

Задания

Проверка истинности неравенств (Примеры 1-10)

Определите, верно ли неравенство.

1. 5 > 3
2. -7 < -10
3. 4 ≤ 4
4. 12 ≥ 15
5. 2.5 + 3.5 > 6
6. -1/2 > -1/3 
7. √9 < π
8. (-2)² > -4
9. 2³ ≤ 3² 
10. 1/1000 > 0.001 

Применение свойств (сложение/вычитание числа) (Примеры 11-15)

Дано неравенство 15 > 10. Запишите неравенство, которое получится, если:

11. К обеим частям прибавить число 5.
12. Из обеих частей вычесть число 8.
13. Перенести слагаемое 15 в правую часть.
14. Перенести слагаемое 10 в левую часть.
15. К левой части прибавить 3, а к правой прибавить 1.

Применение свойств (умножение/деление) (Примеры 16-25)

Дано неравенство -4 < 6. Запишите неравенство, которое получится, если:

16. Обе части умножить на 2.
17. Обе части разделить на 2.
18. Обе части умножить на -1.
19. Обе части разделить на -2.
20. Левую часть умножить на 3, а правую на 3.
21. Левую часть умножить на -1, а правую на -1.
22. Обе части умножить на 0.5.
23. Обе части умножить на -0.1.
24. К обеим частям прибавить 5, а затем умножить на 2.
25. Обе части разделить на -1, а затем прибавить 10.

Оценка выражения (Примеры 26-30)

Известно, что 3 < a < 5 и 2 < b < 4. Оцените выражение:

26. a + b
27. a - b (Подсказка: ищите a + (-b))
28. 3a
29. -2b
30. 2a + 3b

---

Источник: https://maouoc1.ucoz.org/rabota/filial/Rusanov/sbornik_neravenstva_7-11kl.pdf