Радиус 100px
Дуга 157.1px
90°
Угол = дуге
Центральный угол равен дуге, на которую опирается
∠AOB = ∪AB
Вписанный угол
Центральный в 2 раза больше вписанного
∠AOB = 2∠ACB
Полный угол
Вся окружность — 360° или 2π радиан
360° = 2π рад
Длина дуги
Зависит от угла и радиуса
L = (α/360°)·2πr
Типовые задачи с решениями
1
Нахождение дуги по центральному углу
В окружности с центром O центральный угол AOB = 72°. Найдите градусную меру дуги AB.
Подробное решение:
- Вспоминаем определение: центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
- Записываем соотношение: $$\overset{\frown}{AB} = \angle AOB$$
- Подставляем значение угла: $$\overset{\frown}{AB} = 72^\circ$$
Ответ: дуга AB = 72°
2
Нахождение угла по части окружности
Дуга AB составляет \(\frac{1}{6}\) всей окружности. Найдите центральный угол AOB, опирающийся на эту дугу.
Подробное решение:
- Полная окружность составляет $$360^\circ$$ или $$2\pi$$ радиан.
- Дуга AB — это часть окружности: $$\frac{1}{6} \cdot 360^\circ$$
- Так как центральный угол равен дуге, получаем: $$\angle AOB = \frac{1}{6} \cdot 360^\circ = 60^\circ$$
Ответ: центральный угол AOB = 60°
3
Отношение дуг
Три радиуса OA, OB и OC делят окружность на дуги AB, BC и CA в отношении 2:3:7. Найдите наименьший центральный угол.
Подробное решение:
- Обозначим дуги: $$AB = 2x,\ BC = 3x,\ CA = 7x$$
- Сумма всех дуг окружности равна $$360^\circ$$: $$2x + 3x + 7x = 360^\circ$$
- Решаем уравнение: $$12x = 360^\circ \Rightarrow x = 30^\circ$$
- Наименьшая дуга: $$AB = 2x = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$$
- Центральный угол равен дуге: $$\angle AOB = AB = 60^\circ$$
Ответ: наименьший центральный угол = 60°
4
Связь с вписанным углом
Вписанный угол ACB, опирающийся на дугу AB, равен 35°. Найдите центральный угол AOB, опирающийся на ту же дугу AB.
Подробное решение:
- Вспоминаем теорему: центральный угол в 2 раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
- Записываем формулу: $$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB$$
- Подставляем значение вписанного угла: $$\angle AOB = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$$
Ответ: центральный угол AOB = 70°
5
Длина дуги
В окружности радиусом 10 см центральный угол AOB = 45°. Найдите длину дуги AB (число π ≈ 3.14).
Подробное решение:
- Формула длины дуги: $$L = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$$
- Подставляем значения: $$\alpha = 45^\circ,\ r = 10\ \text{см},\ \pi \approx 3.14$$
- Вычисляем: $$L = \frac{45}{360} \cdot 2 \cdot 3.14 \cdot 10 = \frac{1}{8} \cdot 62.8 = 7.85\ \text{см}$$
Ответ: длина дуги AB = 7.85 см