Цепная дробь — это способ представления числа в виде последовательности целых чисел, где каждый следующий элемент уточняет приближение.
Цепная дробь — это выражение вида
где a0 — целое число, а все остальные a1,a2,a3,… — натуральные числа (положительные целые), которые называются неполными частными цепной дроби.
Свойства цепных дробей
- Рациональные числа имеют конечные цепные дроби.
- Иррациональные числа раскладываются в бесконечные дроби.
- Квадратичные иррациональности (√2, φ, √3) дают периодические дроби.
- Чем больше коэффициент akak, тем точнее приближение.
Разберём пошаговый алгоритм для любого числа (рационального или иррационального).
Алгоритм построения цепной дроби
Пример 1. Рациональное число (13/55)
Пример 2. Иррациональное число (√2)
Пример 3. Число π (3.14159…)
Дополнительно: https://www.mathnet.ru/links/a89c3529264bd3c4ca0fd419f3806d54/kvant2410.pdf
Дополнительно: https://old.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.14-full.pdf