Деление многочленов — одна из основных операций в алгебре, которая развивалась вместе с теорией уравнений.
- Древний мир: Вавилонские и греческие математики решали уравнения, но не использовали современную алгебраическую запись.
- Средние века: Арабские математики (например, Аль-Хорезми, IX век) разрабатывали методы решения линейных и квадратных уравнений.
- XVI–XVII века: Франсуа Виет ввёл символику алгебры, что позволило записывать многочлены в виде выражений.
- XVIII–XIX века: Леонард Эйлер, Карл Фридрих Гаусс и другие математики разработали строгую теорию многочленов, включая алгоритмы деления.
Современный алгоритм деления многочленов аналогичен делению чисел в столбик и был формализован в трудах математиков Нового времени.
Методы деления многочленов
Деление «уголком» (стандартный алгоритм)
Аналогично делению чисел, но вместо цифр — степени переменной.
Схема Горнера (для деления на x−a)
Схема Горнера — это эффективный алгоритм для деления многочлена на линейный двучлен вида (x−a) и вычисления значения многочлена в точке x=a.
Деление в столбик и схема Горнера
Разделим многочлен \( P(x) = 2x^3 — 5x^2 + 3x + 4 \) на \( x — 2 \).
Деление в столбик
______________________
x - 2 │ 2x³ - 5x² + 3x + 4
2x³ - 4x²
----------
-x² + 3x
-x² + 2x
----------
x + 4
x - 2
------
6
Частное: \( 2x^2 — x + 1 \)
Остаток: \( 6 \)
Схема Горнера
| \( a = 2 \) | 2 | -5 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | -1 | 1 | 6 |
Частное: \( 2x^2 — x + 1 \)
Остаток: \( 6 \)
Сравнение этапов
| Этап | Деление в столбик | Схема Горнера |
|---|---|---|
| 1 | Делим \(2x^3\) на \(x\) → \(2x^2\) | Берём коэффициент 2 |
| 2 | Вычитаем \(2x^2(x — 2) = 2x^3 — 4x^2\) | \(2 \cdot 2 + (-5) = -1\) |
| 3 | Делим \(-x^2\) на \(x\) → \(-x\) | \(-1 \cdot 2 + 3 = 1\) |
| 4 | Вычитаем \(-x(x — 2) = -x^2 + 2x\) | \(1 \cdot 2 + 4 = 6\) |
Вывод: оба метода дают одинаковый результат. Схема Горнера — компактная замена делению в столбик при делении на \(x — a\).
Дополнительно
Источник: https://exponenta.ucoz.ru/KHugu/1_mnogochleny_i_komp_chisla.pdf