Делимость чисел

От /

Делимость: Говорят, что целое число a делится на целое число b (не равное нулю), если существует такое целое число k, что a = b * k. Обозначение: a ⋮ b.

Простые и составные числа

  • Простое число — это число, у которого ровно два делителя: 1 и оно само.
    Примеры: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
  • Составное число — имеет больше двух делителей.
    Примеры: 4, 6, 8, 9, 10, 12…

❗ 1 — не является ни простым, ни составным.

Признаки делимости

Признаки делимости: Особенно полезны признаки на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 25. Эти правила помогают быстро определить, делится ли число на другое, не выполняя деление..

На что делим?Признак делимостиПример
2Число оканчивается на чётную цифру (0, 2, 4, 6, 8).254 : 4 — чётная → делится
137 : 7 — нечётная → не делится
3Сумма цифр числа делится на 3.417 : 4+1+7=12 (12⋮3) → делится
208 : 2+0+8=10 (10 не ⋮3) → не делится
4Число, составленное из последних двух цифр, делится на 4.512 : 12 ⋮ 4 → делится
374 : 74 не ⋮ 4 → не делится
5Число оканчивается на 0 или 5.670 → делится
834 → не делится
8Число, составленное из последних трёх цифр, делится на 8.11000 : 000 ⋮ 8 → делится
21100 : 100 не ⋮ 8 → не делится
9Сумма цифр числа делится на 9.468 : 4+6+8=18 (18⋮9) → делится
357 : 3+5+7=15 (15 не ⋮9) → не делится
10Число оканчивается на 0.120 → делится
125 → не делится
11Знакочередующаяся сумма цифр (справа налево) делится на 11.
(+ – + – … или – + – + …)		121 : +1 -2 +1 = 0 (0⋮11) → делится
9185 : +9 -1 +8 -5 = 11 (11⋮11) → делится
123 : +1 -2 +3 = 2 (2 не ⋮11) → не делится
25Число оканчивается на 00, 25, 50 или 75.1250 → делится (на 50)
1705 → не делится (на 05)

Важное примечание для признаков 4, 8, 25

Эти признаки работают потому, что всё число можно представить в виде суммы:

  • Для 4 и 25: число = (часть больше разряда сотен)*100 + последние две цифры. А 100 всегда делится и на 4, и на 25. Поэтому делимость всего числа зависит только от последних двух цифр.
  • Для 8: Аналогично: число = (часть больше разряда тысяч)*1000 + последние три цифры. А 1000 всегда делится на 8.

Разложение на простые множители

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел.

Пример. Найдите число, кратное 75.

  1. Разложим 75 на взаимно простые множители: 75 = 25 * 3 (поскольку НОД(25, 3) = 1).
  2. Значит, число должно одновременно делиться и на 25, и на 3.
  3. Применяем признаки:
    • На 25: Число должно оканчиваться на 00, 25, 50 или 75.
    • На 3: Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Основная теорема арифметики: Любое натуральное число, большее 1, можно разложить на простые множители, и это разложение единственно с точностью до порядка множителей.

Наибольший общий делитель (НОД)

  • Это самое большое число, на которое делятся оба числа.
  • Находят, раскладывая числа на простые множители, и перемножая общие множители.

Пример: НОД(12, 18)
12 = 2×2×3
18 = 2×3×2
Общие: 2×3=6 → НОД = 6

Наименьшее общее кратное (НОК)

  • Это самое маленькое число, которое делится на оба числа.
  • Находят, перемножая все простые множители из обоих чисел, беря каждый с наибольшим показателем степени.

Пример: НОК(12, 18)
12 = 2×2×3
18 = 2×3×2
НОК = 2×2×3×3=4×9=36

Взаимно простые числа

Два числа называются взаимно простыми, если их НОД = 1.
Пример: 8 и 15 → НОД(8,15)=1 → взаимно простые.

Полезные формулы

НОД(a,b)×НОК(a,b)=a×b

Пример: a=12, b=18
НОД=6, НОК=36 → 6 × 36 = 216, 12 × 18 = 216 ✅

Свойства делимости:

  • Если a ⋮ c и b ⋮ c, то (a ± b) ⋮ c.
  • Если a ⋮ b и b ⋮ c, то a ⋮ c.
  • Если a ⋮ c, то a * k ⋮ c для любого целого k.
  • Если a ⋮ c и b не делится на c, то (a ± b) не делится на c

Задания для тренировки (с ответами)

  1. Найди все делители числа 24.
    → Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
  2. Напиши три числа, кратных 7.
    → Ответ: 7, 14, 21 (любые числа, делящиеся на 7)
  3. Определи, делится ли 258 на 3.
    → 2+5+8=15 → 15:3=5 → да
  4. Разложи 60 на простые множители.
    → 60=2×2×3×5
  5. Найди НОД(24, 36) и НОК(24, 36).
    → НОД = 12, НОК = 72

Историческая справка

Люди начали изучать числа и их свойства тысячи лет назад, потому что они нужны были для счёта, торговли, строительства и даже астрономии.

Древняя Греция — колыбель теории чисел

Одними из первых, кто начал серьёзно изучать делимость, были древние греки, жившие более 2000 лет назад.

🔹 Пифагор (VI век до н. э.) и его ученики считали, что «всё есть число». Они изучали чётные и нечётные числа, делимость, и даже называли некоторые числа «дружественными» и «совершенными».

🔹 Евклид (III век до н. э.) — великий математик, написавший труд «Начала» — одну из самых важных книг в истории математики.
В ней он впервые:

  • доказал, что простых чисел бесконечно много,
  • описал алгоритм нахождения наибольшего общего делителя (НОД) — он так и называется: алгоритм Евклида.

Тот самый НОД, который вы находите сегодня, был известен ещё 2300 лет назад!

Что такое «алгоритм Евклида»?

Это способ быстро найти НОД двух чисел, не раскладывая их на множители.
Пример:
Чтобы найти НОД(48, 18), Евклид предлагал делить с остатком:

  • 48 : 18 = 2 (ост. 12)
  • 18 : 12 = 1 (ост. 6)
  • 12 : 6 = 2 (ост. 0) → НОД = 6

Этот метод используют до сих пор — даже в компьютерах!

Алгоритм Евклида

Алгоритм Евклида

Визуализация поиска НОД

Введите числа и нажмите «Запустить» для визуализации алгоритма

Эратосфен и «решето»

Другой древнегреческий учёный — Эратосфен (III век до н. э.) — придумал способ находить все простые числа до определённого предела. Он называется «Решето Эратосфена».

Суть метода: записать числа подряд и «вычёркивать» составные, оставляя только простые — как будто просеиваешь песок через решето.

Интересные факты

  • Древние египтяне и вавилоняне умели делить, но не изучали признаки делимости так, как это сделали греки.
  • Слово «цифра» происходит от арабского слова «сифр», что означает «пустое место» (нуль), но долгое время так называли вообще любое число.
  • В Древней Греции математику считали частью философии — числа изучали не только для расчётов, но и для понимания устройства мира.

Дополнительно

ЕГЭ 2018. Математика. Арифметика и алгебра. Задача 19 (профильный уровень) / Под ред. И. В. Ященко. — М.: МЦНМО. : https://repetitor95.ru/Volfson_19.pdf

Скачать

Делимость целых чисел в задачах: Сборник задач, — Ханты-Мансийск, Югорский физико-математический лицей, 39 c. : https://ugrafmsh.ru/wp-content/uploads/2015/09/Delimost-tselyih-chisel-v-zadachah.pdf

Скачать

Источник: https://iro23.ru/wp-content/uploads/2024/04/Вебинар-18.04.2024-Артемова-ОЛ.pdf

Скачать
Прокрутить вверх