A005179, A066150, A000005, A002182, A002183 в контексте количества делителей чисел

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®) — это крупнейшая в мире база данных целочисленных последовательностей. По состоянию на ноябрь 2025 года она содержит более 390 000 последовательностей, каждая с уникальным идентификатором формата Axxxxxx.

OEIS была основана Нилом Слоуном (Neil Sloane) в 1964 году во время его работы в Bell Labs (позже AT&T Labs). В октябре 2009 года Слоун передал управление и интеллектуальную собственность организации OEIS Foundation, которая продолжает развитие проекта.

Практическое применение в задачах:

«Найдите τ(n)» → A000005
«Наименьшее число с k делителями» → A005179
«Максимальное τ у k-значных чисел» → A066150
«Какое k-значное число имеет max τ?» → A066151

Последовательности OEIS: Теория делителей

OEIS: Теория делителей

A000005 — \(\tau(n)\): количество делителей

История: Одна из древнейших арифметических функций. Систематически изучалась Гауссом (1801) и Рамануджаном (1915). Входит в OEIS с основания (1964).

Комментарий: Функция \(\tau(n)\) считает количество положительных делителей числа \(n\). Если \(n = p_1^{a_1} \cdots p_k^{a_k}\), то \(\tau(n) = (a_1+1)\cdots(a_k+1)\). Эта функция — основа всех остальных последовательностей на этой странице.

Если \(n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\), то
\(\tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1)\cdots(a_k + 1)\)

Первые 15 значений A000005 (τ(1) … τ(15))
\(n\)	\(\tau(n)\)
1	1
2	2
3	2
4	3
5	2
6	4
7	2
8	4
9	3
10	4
11	2
12	6
13	2
14	4
15	4

A005179 — Наименьшее число с \(n\) делителями

История: Добавлена Дэвидом Уилсоном (1991). Решает обратную задачу к \(\tau(n)\): для заданного \(k\) найти минимальное \(m\), такое что \(\tau(m) = k\).

Комментарий:

Для простого \(p\): A005179(\(p\)) = \(2^{p-1}\).

Первые 15 значений A005179
\(n\)	A005179(\(n\))	Разложение	\(\tau\)(числа)
1	1	1	1
2	2	\(2\)	2
3	4	\(2^2\)	3
4	6	\(2 \cdot 3\)	4
5	16	\(2^4\)	5
6	12	\(2^2 \cdot 3\)	6
7	64	\(2^6\)	7
8	24	\(2^3 \cdot 3\)	8
9	36	\(2^2 \cdot 3^2\)	9
10	48	\(2^4 \cdot 3\)	10
11	1024	\(2^{10}\)	11
12	60	\(2^2 \cdot 3 \cdot 5\)	12
13	4096	\(2^{12}\)	13
14	192	\(2^6 \cdot 3\)	14
15	144	\(2^4 \cdot 3^2\)	15

A002182 — Highly Composite Numbers (рекордсмены по \(\tau(n)\))

История: Введены Сринивасой Рамануджаном (1915). Это числа, у которых больше делителей, чем у любого меньшего натурального числа.

Первые 15 Highly Composite Numbers (A002182)
Позиция	Число	\(\tau(n)\)
1	1	1
2	2	2
3	4	3
4	6	4
5	12	6
6	24	8
7	36	9
8	48	10
9	60	12
10	120	16
11	180	18
12	240	20
13	360	24
14	720	30
15	840	32

A002183 — \(\tau\)(highly composite numbers)

История: Прямое следствие работ Рамануджана (1915). A002183(k) = \(\tau\)(A002182(k)).

Комментарий: Эта последовательность фиксирует значения \(\tau(n)\) именно в точках рекордов. Она строго возрастает.

Первые 15 значений A002183 = \(\tau\)(A002182)
Индекс	A002182	A002183 = \(\tau\)
1	1	1
2	2	2
3	4	3
4	6	4
5	12	6
6	24	8
7	36	9
8	48	10
9	60	12
10	120	16
11	180	18
12	240	20
13	360	24
14	720	30
15	840	32

A066150 — Максимальное \(\tau(n)\) среди \(n\)-значных чисел

История: Добавлена Джейсоном Эрлсом (2001). Отвечает на вопрос: «Каково максимальное \(\tau(m)\) среди всех \(n\)-значных \(m\)?»

Комментарий: Эта последовательность показывает, какие рекорды достижимы при ограничении на длину числа. Например, среди трёхзначных чисел максимум \(\tau = 32\), достигается на 840. Но 720 (тоже трёхзначное) имеет \(\tau = 30\) — почти рекорд.

Первые 15 значений A066150
Цифр (\(n\))	A066150(\(n\))	Пример числа	\(\tau\)(числа)
1	4	6	4
2	12	60	12
3	32	840	32
4	64	7560	64
5	128	83160	128
6	240	720720	240
7	448	8648640	448
8	768	73513440	768
9	1344	735134400	1344
10	2304	6983776800	2304
11	4032	97772875200	4032
12	6720	963761198400	6720
13	10752	9316358251200	10752
14	17280	97821761637600	17280
15	26880	862625053238400	26880

Дополнительно последовательности

ID	Название	Первые значения	Связь
A037019	Упорядоченный A005179	1, 2, 4, 6, 12	Без дубликатов
A007416	Числа-рекордсмены	1, 2, 4, 6, 12	= A002182
A066151	n-значные числа с max τ	6, 60, 840	Числа для A066150
A066152	Количество таких чисел	2, 5, 1	Для n=1,2,3

Примеры применения

Задача 1. Почему 840 — уникальное трёхзначное число?

Условие: Докажите, что 840 — единственное трёхзначное число, которое одновременно является наименьшим с 32 делителями, высоко составным и достигает максимума у трёхзначных.
Решение:
• Из A005179: A005179(32) = 840.
• Из A002182: 840 — 15-е HCN.
• Из A066150: A066150(3) = 32, и A066152(3) = 1.
Вывод: 840 — единственное трёхзначное число с 32 делителями.

Задача 2. Существует ли двузначное число с 16 делителями?

Решение:
• Из A005179: наименьшее число с 16 делителями — 120 (трёхзначное).
• Из A066150: максимум у двузначных — 12 делителей.
Ответ: нет, не существует.

Задача 3. Какое наименьшее число имеет больше делителей, чем 840?

Решение:
• τ(840) = 32 (из A002183).
• Следующее HCN — 1260 (из A002182).
• τ(1260) = 36 (из A002183).
Ответ: 1260.

Задача 4. Может ли четырёхзначное число быть наименьшим с 64 делителями?

Решение:
• Из A066150: A066150(4) = 64, пример — 7560.
• Проверяем: 7560 действительно четырёхзначное (1000 ≤ 7560 ≤ 9999).
• Из A005179: A005179(64) = 7560.
Ответ: да, 7560 — наименьшее четырёхзначное число с 64 делителями.

Задача 5. У какого числа выше плотность делителей: у 360 или у 840?

Решение:
• τ(360) = 24, τ(840) = 32 (из A002183).
• Плотность делителей: τ(n)/n = 24/360 ≈ 0.0667, 32/840 ≈ 0.0381.
Вывод: у 360 плотность делителей выше (6.7% vs 3.8%).

Стратегия решения

Шаг 1: определите тип задачи (минимум, рекорд, ограничение по цифрам).
Шаг 2: выберите нужную последовательность:
– τ(n) → A000005
– наименьшее с k делителями → A005179
– рекордсмены → A002182 / A002183
– n-значные максимумы → A066150 / A066151
Шаг 3: свяжите данные.

Ссылки на OEIS

A000005 — τ(n)
A005179 — наименьшее с n делителями
A002182 — highly composite numbers
A066150 — максимум τ для n-значных

Дополнительно

Источник: ссылка

https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/EM22/C27.pdf

ТЕМЫ

ЕГЭ ПРОФИ

OEIS: делители