Краткая памятка
Для sin x = a:
• arcsin a — основное решение
• Второе решение: π — arcsin a
• Две серии: x₁ = arcsin a + 2πn, x₂ = π — arcsin a + 2πm. Разные буквы n и m — точки независимы.
• Одна формула: x = (-1)k · arcsin a + πk
• arcsin a — основное решение
• Второе решение: π — arcsin a
• Две серии: x₁ = arcsin a + 2πn, x₂ = π — arcsin a + 2πm. Разные буквы n и m — точки независимы.
• Одна формула: x = (-1)k · arcsin a + πk
Для cos x = a:
• arccos a — основное решение
• Второе решение: -arccos a
• Проще: x = ± arccos a + 2πk
• arccos a — основное решение
• Второе решение: -arccos a
• Проще: x = ± arccos a + 2πk
Как перейти от двух серий к одной формуле?
Записываем две серии решений уравнения
Находим основное решение (arcsin или arccos)
Определяем второе решение: для sin x = a это π — arcsin a, для cos x = a это ± arccos a
Записываем: x₁ = α + 2πn, x₂ = β + 2πm (разные параметры!)
Замечаем закономерность: решения чередуются через π
Объединяем с помощью (-1)k : x = (-1)k · α + πk
Важно: Параметры n и m должны быть разными, так как это независимые семейства решений.
Задание 1: sin x = 1/2
Как находим решение:
arcsin(1/2) = π/6 (это угол в I четверти)
У уравнения sin x = 1/2 есть два основных решения на [0, 2π):
• В I четверти: π/6 (красная точка) — sin положителен
• Во II четверти: π — π/6 = 5π/6 (зелёная точка) — sin положителен
π/6
5π/6
Основные решения:
arcsin(1/2) = π/6
На окружности:
Точки: π/6 (30°) и 5π/6 (150°) — синус равен 1/2
Координаты: (√3/2, 1/2) и (-√3/2, 1/2)
Точки: π/6 (30°) и 5π/6 (150°) — синус равен 1/2
Координаты: (√3/2, 1/2) и (-√3/2, 1/2)
Как записываем решение:
Основные решения: π/6 и 5π/6
Две серии (с разными параметрами):
x₁ = π/6 + 2πn, n ∈ ℤ
x₂ = 5π/6 + 2πm, m ∈ ℤ
Одна формула через (-1)^k:
x = (-1)k · π/6 + πk, k ∈ ℤ
Проверка для k=0,1,2,3:
k=0: (-1)⁰·π/6 + 0 = π/6
k=1: (-1)¹·π/6 + π = -π/6 + π = 5π/6
k=2: (-1)²·π/6 + 2π = π/6 + 2π
k=3: (-1)³·π/6 + 3π = -π/6 + 3π = 5π/6 + 2π
k=0: (-1)⁰·π/6 + 0 = π/6
k=1: (-1)¹·π/6 + π = -π/6 + π = 5π/6
k=2: (-1)²·π/6 + 2π = π/6 + 2π
k=3: (-1)³·π/6 + 3π = -π/6 + 3π = 5π/6 + 2π
Задание 2: cos x = √2/2
Как находим решение:
arccos(√2/2) = π/4 (это угол в I четверти)
У уравнения cos x = √2/2 есть два основных решения на [0, 2π):
• В I четверти: π/4 (красная точка) — cos положителен
• В IV четверти: -π/4 или 7π/4 (зелёная точка) — cos положителен
π/4
7π/4
Основные решения:
arccos(√2/2) = π/4
На окружности:
Точки: π/4 (45°) и 7π/4 (315°) — косинус равен √2/2
Координаты: (√2/2, √2/2) и (√2/2, -√2/2)
Точки: π/4 (45°) и 7π/4 (315°) — косинус равен √2/2
Координаты: (√2/2, √2/2) и (√2/2, -√2/2)
Как записываем решение:
Основные решения: π/4 и 7π/4 (или -π/4)
Две серии:
x₁ = π/4 + 2πn, n ∈ ℤ
x₂ = -π/4 + 2πm, m ∈ ℤ
Для косинуса удобнее запись с ±:
x = ± π/4 + 2πk, k ∈ ℤ
Что означает ± ?
+π/4: даёт точки π/4 + 2πk
-π/4: даёт точки 7π/4 + 2πk (или -π/4 + 2πk)
+π/4: даёт точки π/4 + 2πk
-π/4: даёт точки 7π/4 + 2πk (или -π/4 + 2πk)
Задание 3: sin x = -1/2
Как находим решение:
arcsin(-1/2) = -π/6 (это угол в IV четверти)
Уравнение sin x = -1/2 имеет решения:
• В III четверти: π + π/6 = 7π/6 (красная точка) — sin отрицателен
• В IV четверти: 2π — π/6 = 11π/6 (зелёная точка) — sin отрицателен
7π/6
11π/6
Основные решения:
arcsin(-1/2) = -π/6
На окружности:
Точки: 7π/6 (210°) и 11π/6 (330°) — синус равен -1/2
Координаты: (-√3/2, -1/2) и (√3/2, -1/2)
Точки: 7π/6 (210°) и 11π/6 (330°) — синус равен -1/2
Координаты: (-√3/2, -1/2) и (√3/2, -1/2)
Как записываем решение:
Основные решения: 7π/6 и 11π/6
Две серии:
x₁ = 7π/6 + 2πn, n ∈ ℤ
x₂ = 11π/6 + 2πm, m ∈ ℤ
Одна формула через (-1)^k:
x = (-1)^k · (-π/6) + πk, k ∈ ℤ
Или упрощённо:
x = (-1)k+1 · π/6 + πk, k ∈ ℤ
Задание 4: sin x = √3/2
Как находим решение:
arcsin(√3/2) = π/3 (это угол в I четверти)
Уравнение sin x = √3/2 имеет решения:
• В I четверти: π/3 (красная точка)
• Во II четверти: π — π/3 = 2π/3 (зелёная точка)
π/3
2π/3
Основные решения:
arcsin(√3/2) = π/3
На окружности:
Точки: π/3 (60°) и 2π/3 (120°) — синус равен √3/2
Точки: π/3 (60°) и 2π/3 (120°) — синус равен √3/2
Как записываем решение:
Основные решения: π/3 и 2π/3
Две серии:
x₁ = π/3 + 2πn, n ∈ ℤ
x₂ = 2π/3 + 2πm, m ∈ ℤ
Одна формула:
x = (-1)k · π/3 + πk, k ∈ ℤ
Задание 5: cos x = -1/2
Как находим решение:
arccos(-1/2) = 2π/3 (это угол во II четверти)
Уравнение cos x = -1/2 имеет решения:
• Во II четверти: 2π/3 (красная точка) — cos отрицателен
• В III четверти: 2π — 2π/3 = 4π/3 (зелёная точка) — cos отрицателен
2π/3
4π/3
Основные решения:
arccos(-1/2) = 2π/3
На окружности:
Точки: 2π/3 (120°) и 4π/3 (240°) — косинус равен -1/2
Точки: 2π/3 (120°) и 4π/3 (240°) — косинус равен -1/2
Как записываем решение:
Основные решения: 2π/3 и 4π/3
Две серии:
x₁ = 2π/3 + 2πn, n ∈ ℤ
x₂ = 4π/3 + 2πm, m ∈ ℤ
Одна формула с ±:
x = ± 2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ
Где -2π/3 = 4π/3 — 2π