🧠 краткие методы решения:
• Приведение к одному основанию – записать обе части (или все слагаемые) как степени с одинаковым основанием, чаще всего 2, 3, 5.
• Замена переменной – если после приведения получается \(a^{f(x)}\) и \(a^{2f(x)}\), вводят \(t = a^{f(x)} > 0\).
• Вынесение общего множителя – если есть сумма/разность степеней.
• Логарифмирование – когда основания разные и не приводятся, применяют \(\log\).
• Отбор корней – по условию (отрезок, неравенство).
⚡ В обоих примерах используется **замена** после приведения к основанию 2.
• Приведение к одному основанию – записать обе части (или все слагаемые) как степени с одинаковым основанием, чаще всего 2, 3, 5.
• Замена переменной – если после приведения получается \(a^{f(x)}\) и \(a^{2f(x)}\), вводят \(t = a^{f(x)} > 0\).
• Вынесение общего множителя – если есть сумма/разность степеней.
• Логарифмирование – когда основания разные и не приводятся, применяют \(\log\).
• Отбор корней – по условию (отрезок, неравенство).
⚡ В обоих примерах используется **замена** после приведения к основанию 2.
Пример 1
алгоритм шаг за шагом
\( 8^{1-4x} - 21 \cdot 4^{1{,}5-3x} + 640 = 0 \)
1
Единое основание 2:
\(8^{1-4x} = (2^3)^{1-4x} = 2^{3-12x}\)
\(4^{1{,}5-3x} = (2^2)^{1{,}5-3x} = 2^{3-6x}\)
Получаем: \(2^{3-12x} - 21\cdot 2^{3-6x} + 640 = 0\).
\(8^{1-4x} = (2^3)^{1-4x} = 2^{3-12x}\)
\(4^{1{,}5-3x} = (2^2)^{1{,}5-3x} = 2^{3-6x}\)
Получаем: \(2^{3-12x} - 21\cdot 2^{3-6x} + 640 = 0\).
2
Замена (внимание на степени):
Пусть \(t = 2^{3-6x} > 0\). Тогда \(t^2 = 2^{6-12x}\).
Нам нужно \(2^{3-12x} = 2^{(6-12x)-3} = \dfrac{t^2}{2^3} = \dfrac{t^2}{8}\).
Уравнение: \(\dfrac{t^2}{8} - 21t + 640 = 0\).
Пусть \(t = 2^{3-6x} > 0\). Тогда \(t^2 = 2^{6-12x}\).
Нам нужно \(2^{3-12x} = 2^{(6-12x)-3} = \dfrac{t^2}{2^3} = \dfrac{t^2}{8}\).
Уравнение: \(\dfrac{t^2}{8} - 21t + 640 = 0\).
3
Квадратное уравнение:
Умножаем на 8: \(t^2 - 168t + 5120 = 0\).
Дискриминант \(D = 168^2 - 4\cdot 5120 = 28224 - 20480 = 7744\).
\(\sqrt{D} = 88\). Корни: \(t = \frac{168 \pm 88}{2}\) ⇒ \(t_1 = 128,\; t_2 = 40\).
Умножаем на 8: \(t^2 - 168t + 5120 = 0\).
Дискриминант \(D = 168^2 - 4\cdot 5120 = 28224 - 20480 = 7744\).
\(\sqrt{D} = 88\). Корни: \(t = \frac{168 \pm 88}{2}\) ⇒ \(t_1 = 128,\; t_2 = 40\).
4
Обратная замена \(2^{3-6x} = t\):
• \(2^{3-6x} = 128 = 2^7\) ⇒ \(3-6x = 7\) ⇒ \(x = -\dfrac{2}{3}\).
• \(2^{3-6x} = 40\) ⇒ \(3-6x = \log_2 40 = 3 + \log_2 5\) ⇒ \(x = -\dfrac{\log_2 5}{6}\).
• \(2^{3-6x} = 128 = 2^7\) ⇒ \(3-6x = 7\) ⇒ \(x = -\dfrac{2}{3}\).
• \(2^{3-6x} = 40\) ⇒ \(3-6x = \log_2 40 = 3 + \log_2 5\) ⇒ \(x = -\dfrac{\log_2 5}{6}\).
5
Отбор на \([-1; -0{,}5]\):
\(x_1 = -\frac{2}{3} \approx -0{,}667\) – принадлежит.
\(x_2 = -\frac{1}{6}\log_2 5 \approx -0{,}387\) – не принадлежит (правее -0,5).
✅ только \(-\frac{2}{3}\)
\(x_1 = -\frac{2}{3} \approx -0{,}667\) – принадлежит.
\(x_2 = -\frac{1}{6}\log_2 5 \approx -0{,}387\) – не принадлежит (правее -0,5).
✅ только \(-\frac{2}{3}\)
🎯 а) \(-\dfrac{2}{3},\; -\dfrac{1}{6}\log_2 5\) б) \(-\dfrac{2}{3}\)
Пример №2
\( 4^{1-10x} - 29 \cdot 32^{0{,}4-2x} + 400 = 0 \)
• при замене всегда проверяем \(t>0\)
• в первом уравнении важный момент: \(2^{3-12x} = (2^{3-6x})^2 / 8\), не забыть деление!
• логарифмы оставляем в точном виде (\(\log_2 5\), \(\log_2 10\))
• отбор корней: сравнение с десятичными приближениями
• в первом уравнении важный момент: \(2^{3-12x} = (2^{3-6x})^2 / 8\), не забыть деление!
• логарифмы оставляем в точном виде (\(\log_2 5\), \(\log_2 10\))
• отбор корней: сравнение с десятичными приближениями