Решение тригонометрического уравнения
\[ \sin^4 \frac{x}{4} — \cos^4 \frac{x}{4} = \cos\left(x — \frac{3\pi}{2}\right) \]
Часть а) Решение уравнения
1
Упрощение левой части
\[ \sin^4 \frac{x}{4} — \cos^4 \frac{x}{4} = (\sin^2 \frac{x}{4} — \cos^2 \frac{x}{4})(\sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4}) \]
\[ \sin^2 \frac{x}{4} + \cos^2 \frac{x}{4} = 1 \]
\[ \sin^4 \frac{x}{4} — \cos^4 \frac{x}{4} = \sin^2 \frac{x}{4} — \cos^2 \frac{x}{4} \]
\[ \sin^2 \alpha — \cos^2 \alpha = -(\cos^2 \alpha — \sin^2 \alpha) = -\cos 2\alpha \]
\[ \sin^2 \frac{x}{4} — \cos^2 \frac{x}{4} = -\cos\left(2 \cdot \frac{x}{4}\right) = -\cos \frac{x}{2} \]
2
Упрощение правой части через формулы приведения
\[ \cos\left(x — \frac{3\pi}{2}\right) = -\sin x \]
3
Получение упрощенного уравнения
\[ -\cos \frac{x}{2} = -\sin x \]
\[ \cos \frac{x}{2} = \sin x \]
4
Решение через синус двойного угла
\[ \sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \]
\[ \cos \frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \]
\[ \cos \frac{x}{2} — 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0 \]
\[ \cos \frac{x}{2}(1 — 2\sin\frac{x}{2}) = 0 \]
5
Разбор двух случаев
Случай 1: $\cos\frac{x}{2} = 0$
\[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \]
\[ x = \pi + 2\pi n \]
Случай 2: $1 — 2\sin\frac{x}{2} = 0$
\[ \sin\frac{x}{2} = \frac{1}{2} \]
\[ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \]
\[ x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi k \]
Ответ для части а):
\[ \boxed{x = \pi + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k,\ k \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi m,\ m \in \mathbb{Z}} \]
Часть б) Корни на отрезке $[-4\pi; -\pi]$
Отрезок: $[-4\pi; -\pi] \approx [-12.57; -3.14]$
1
Корни из серии $x = \pi + 2\pi n$
\[ -4\pi \leq \pi + 2\pi n \leq -\pi \]
\[ -4 \leq 1 + 2n \leq -1 \]
\[ -5 \leq 2n \leq -2 \]
\[ -\frac{5}{2} \leq n \leq -1 \]
Целые $n$: $-2, -1$
\[ n = -2: \quad x = \pi — 4\pi = -3\pi \]
\[ n = -1: \quad x = \pi — 2\pi = -\pi \]
2
Корни из серии $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$
\[ -4\pi \leq \frac{\pi}{3} + 4\pi k \leq -\pi \]
\[ -4 \leq \frac{1}{3} + 4k \leq -1 \]
\[ -\frac{13}{3} \leq 4k \leq -\frac{4}{3} \]
\[ -\frac{13}{12} \leq k \leq -\frac{1}{3} \]
Целое $k$: $-1$
\[ x = \frac{\pi}{3} — 4\pi = -\frac{11\pi}{3} \]
3
Корни из серии $x = \frac{5\pi}{3} + 4\pi m$
\[ -4\pi \leq \frac{5\pi}{3} + 4\pi m \leq -\pi \]
\[ -4 \leq \frac{5}{3} + 4m \leq -1 \]
\[ -\frac{17}{3} \leq 4m \leq -\frac{8}{3} \]
\[ -\frac{17}{12} \leq m \leq -\frac{2}{3} \]
Целое $m$: $-1$
\[ x = \frac{5\pi}{3} — 4\pi = -\frac{7\pi}{3} \]
Ответ для части б):
Корни на отрезке $[-4\pi; -\pi]$:
$-\frac{11\pi}{3}$
$-3\pi$
$-\frac{7\pi}{3}$
$-\pi$
В порядке возрастания: $-\frac{11\pi}{3},\ -3\pi,\ -\frac{7\pi}{3},\ -\pi$
Графическая иллюстрация
Объяснение графика:
• Синяя линия: $y = \cos\frac{x}{2}$
• Красная линия: $y = \sin x$
• Зелёные точки: корни уравнения на отрезке $[-4\pi; -\pi]$
• Серые линии: границы отрезка $x = -4\pi$ и $x = -\pi$