\[ 2\cos x \cdot \sin 2x = 2\sin x + \cos 2x \]
Часть а) Общее решение уравнения
1
Применение формулы синуса двойного угла
Используем формулу: \( \sin 2x = 2\sin x\cos x \)
\[ 2\cos x \cdot (2\sin x\cos x) = 2\sin x + \cos 2x \]
\[ 4\sin x\cos^2 x = 2\sin x + \cos 2x \]
2
Использование формулы косинуса двойного угла
Выразим \( \cos 2x \) через \( \cos^2 x \): \( \cos 2x = 2\cos^2 x — 1 \)
\[ 4\sin x\cos^2 x = 2\sin x + (2\cos^2 x — 1) \]
\[ 4\sin x\cos^2 x — 2\sin x — 2\cos^2 x + 1 = 0 \]
3
Факторизация (разложение на множители)
\[ 2\sin x(2\cos^2 x — 1) — (2\cos^2 x — 1) = 0 \]
\[ (2\cos^2 x — 1)(2\sin x — 1) = 0 \]
Обратите внимание, что \( 2\cos^2 x — 1 = \cos 2x \)
4
Решение первого уравнения
Из \( 2\cos^2 x — 1 = 0 \):
\[ \cos^2 x = \frac{1}{2} \]
\[ \cos x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Или, что эквивалентно:
\[ \cos 2x = 0 \] \[ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \]5
Решение второго уравнения
Из \( 2\sin x — 1 = 0 \):
\[ \sin x = \frac{1}{2} \]
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Значение \( \sin x = \frac{1}{2} \) соответствует углам \( 30^\circ \) и \( 150^\circ \).
Ответ для части а):
\[ \boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2},\ n \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}} \]
Часть б) Корни на отрезке \( \left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right] \)
Отрезок: \( \left[ 3\pi; \frac{9\pi}{2} \right] \approx [9.4248; 14.1372] \)
1
Корни вида \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \)
\[ 3\pi \leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \leq \frac{9\pi}{2} \]
Умножаем на \( \frac{4}{\pi} \):
\[ 12 \leq 1 + 2n \leq 18 \]
\[ 11 \leq 2n \leq 17 \]
\[ 5.5 \leq n \leq 8.5 \]
Целые \( n \): 6, 7, 8
\( n = 6 \)
\[ x = \frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{13\pi}{4} \]
≈ 10.2102
\( n = 7 \)
\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{2} = \frac{15\pi}{4} \]
≈ 11.7810
\( n = 8 \)
\[ x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} \]
≈ 13.3518
2
Корни вида \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \)
\[ 3\pi \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq \frac{9\pi}{2} \]
Умножаем на \( \frac{6}{\pi} \):
\[ 18 \leq 1 + 12k \leq 27 \]
\[ 17 \leq 12k \leq 26 \]
\[ \frac{17}{12} \leq k \leq \frac{26}{12} \]
\[ 1.4167 \leq k \leq 2.1667 \]
Целое \( k \): 2
\( k = 2 \)
\[ x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6} \]
≈ 13.0899
3
Корни вида \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \)
\[ 3\pi \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq \frac{9\pi}{2} \]
Умножаем на \( \frac{6}{\pi} \):
\[ 18 \leq 5 + 12k \leq 27 \]
\[ 13 \leq 12k \leq 22 \]
\[ \frac{13}{12} \leq k \leq \frac{22}{12} \]
\[ 1.0833 \leq k \leq 1.8333 \]
Нет целых \( k \), удовлетворяющих неравенству.
4
Итоговый перечень корней
Ответ для части б):
\[ \boxed{\frac{13\pi}{4},\ \frac{15\pi}{4},\ \frac{25\pi}{6},\ \frac{17\pi}{4}} \]
Проверка корней в исходном уравнении
1. Для \( x = \frac{13\pi}{4} \):
\[ \cos x = \cos\left(\frac{13\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin 2x = \sin\left(\frac{13\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 6\pi\right) = 1 \]
Левая часть: \( 2\cos x \cdot \sin 2x = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot 1 = -\sqrt{2} \)
\[ 2\sin x = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} \]
\[ \cos 2x = \cos\left(\frac{13\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 6\pi\right) = 0 \]
Правая часть: \( 2\sin x + \cos 2x = -\sqrt{2} + 0 = -\sqrt{2} \)
✓ Обе части равны \( -\sqrt{2} \)
2. Для \( x = \frac{15\pi}{4} \):
\[ \cos x = \cos\left(\frac{15\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin 2x = \sin\left(\frac{15\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 6\pi\right) = -1 \]
Левая часть: \( 2\cos x \cdot \sin 2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2} \)
\[ 2\sin x = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2} \]
\[ \cos 2x = \cos\left(\frac{15\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 6\pi\right) = 0 \]
Правая часть: \( 2\sin x + \cos 2x = -\sqrt{2} + 0 = -\sqrt{2} \)
✓ Обе части равны \( -\sqrt{2} \)
3. Для \( x = \frac{25\pi}{6} \):
\[ \cos x = \cos\left(\frac{25\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \sin 2x = \sin\left(\frac{25\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Левая часть: \( 2\cos x \cdot \sin 2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} \)
\[ 2\sin x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \]
\[ \cos 2x = \cos\left(\frac{25\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \]
Правая часть: \( 2\sin x + \cos 2x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)
✓ Обе части равны \( \frac{3}{2} \)
4. Для \( x = \frac{17\pi}{4} \):
\[ \cos x = \cos\left(\frac{17\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin 2x = \sin\left(\frac{17\pi}{2}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 8\pi\right) = 1 \]
Левая часть: \( 2\cos x \cdot \sin 2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 1 = \sqrt{2} \)
\[ 2\sin x = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \]
\[ \cos 2x = \cos\left(\frac{17\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} + 8\pi\right) = 0 \]
Правая часть: \( 2\sin x + \cos 2x = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2} \)
✓ Обе части равны \( \sqrt{2} \)
Примечание: Все найденные корни удовлетворяют исходному уравнению.
Проверка показывает, что левая и правая части равны для каждого корня.