\[ 2\sin^3(\pi + x) = \frac{1}{2} \cos\left(x — \frac{3\pi}{2}\right) \]
Часть а) Общее решение
1
Формулы приведения
\[ \sin(\pi + x) = -\sin x \]
\[ \cos\left(x — \frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{2} — 2\pi\right) = \cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x \]
2
Подстановка
\[ 2(-\sin x)^3 = \frac{1}{2}(-\sin x) \]
\[ -2\sin^3 x = -\frac{1}{2}\sin x \]
\[ 2\sin^3 x — \frac{1}{2}\sin x = 0 \]
3
Разложение на множители
\[ \sin x \left(2\sin^2 x — \frac{1}{2}\right) = 0 \]
4
Решение уравнений
sin x = 0:
\[ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
sin² x = ¼ → sin x = ±½:
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \]
\[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \]
5
Компактная запись
\[ \boxed{x = \pi n} \quad \boxed{x = \frac{\pi}{6} + \pi n} \quad \boxed{x = \frac{5\pi}{6} + \pi n} \]
\[ n \in \mathbb{Z} \]
⚡ Корни \(-\frac{\pi}{6} + 2\pi n\) и \(\frac{7\pi}{6} + 2\pi n\) содержатся в \(\frac{\pi}{6} + \pi n\)
✅ Ответ для части а)
\[ x = \pi n \]
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]
\[ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \]
\[ x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m \]
\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi m \]
Или с периодом π:
\[ x = \pi n,\quad x = \frac{\pi}{6} + \pi n,\quad x = \frac{5\pi}{6} + \pi n \]
Часть б) Корни на отрезке
🎯 Интервал:
\[ \left[ -\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2} \right] \approx [-10.996; -7.854] \]
📌 x = πn
n = -3
\(-3\pi\)
≈ -9.4248
📌 x = π/6 + πn
n = -3
\(-\frac{17\pi}{6}\)
≈ -8.9012
📌 x = 5π/6 + πn
n = -4
\(-\frac{19\pi}{6}\)
≈ -9.9484
📊 Корни на отрезке (по возрастанию):
\(-\frac{19\pi}{6}\) -9.948
\(-3\pi\) -9.425
\(-\frac{17\pi}{6}\) -8.901
✅ Ответ для части б)
\[ \boxed{-\frac{19\pi}{6},\ -3\pi,\ -\frac{17\pi}{6}} \]
🔍 Проверка корней
1. \(x = -3\pi\)
Левая часть:
\[2\sin^3(\pi-3\pi)=2\cdot0^3=0\]
Правая часть:
\[\frac12\cos(-3\pi-1.5\pi)=\frac12\cdot0=0\]
2. \(x = -\frac{17\pi}{6}\)
Левая часть:
\[2\sin^3(-\frac{11\pi}{6})=2\cdot(\frac12)^3=\frac14\]
Правая часть:
\[\frac12\cos(-\frac{13\pi}{3})=\frac12\cdot\frac12=\frac14\]
3. \(x = -\frac{19\pi}{6}\)
Левая часть:
\[2\sin^3(-\frac{13\pi}{6})=2\cdot(-\frac12)^3=-\frac14\]
Правая часть:
\[\frac12\cos(-\frac{14\pi}{3})=\frac12\cdot(-\frac12)=-\frac14\]
📘 Ключевые моменты
- \(\sin(\pi + x) = -\sin x\)
- \(\cos(x — \frac{3\pi}{2}) = -\sin x\)
- Не теряйте корни: \(\sin x = 0\) и \(\sin x = \pm\frac12\)
- На отрезке \([-7\pi/2, -5\pi/2]\) лежат три корня
- Проверка подтверждает все три значения
Полное решение — корни отобраны и проверены