ЕГЭ 13-в35. Тригонометрическое уравнение

От /

sin 2x + cos 2x = 1 — решение и отбор корней
\[\sin 2x + \cos 2x = 1\]

📘 а) Общее решение

1

Метод дополнительного угла (формула синуса суммы)

Представим левую часть как \(\sqrt{2}\sin(2x + \varphi)\). Для этого умножим и разделим на \(\sqrt{2}\):

\[ \sin 2x + \cos 2x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x\right) \]

Заметим: \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} = \cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4}\). Подставим:

\[ \sqrt{2}\left(\sin 2x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\,\sin\!\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) \]

Таким образом, уравнение принимает вид:

\[ \sqrt{2}\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \quad\Rightarrow\quad \sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
2

Решение простейшего тригонометрического уравнения

\(\displaystyle \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\) при \(\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{4} + 2\pi n\) или \(\displaystyle \alpha = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}\).

В нашем случае \(\alpha = 2x + \frac{\pi}{4}\). Получаем две серии:

🔹 Серия 1

\[ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \;\Longrightarrow\; 2x = 2\pi n \;\Longrightarrow\; \boxed{x = \pi n} \]

🔸 Серия 2

\[ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \;\Longrightarrow\; 2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \;\Longrightarrow\; \boxed{x = \frac{\pi}{4} + \pi n} \]

\(n \in \mathbb{Z}\)

🔄 Второй приём — через основное тождество

Можно заменить \(1 = \sin^2 x + \cos^2 x\) и выразить \(\sin 2x,\; \cos 2x\) через двойной угол:

\[ 2\sin x\cos x + (\cos^2 x — \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x \] \[ 2\sin x\cos x — 2\sin^2 x = 0 \;\Longrightarrow\; 2\sin x(\cos x — \sin x)=0 \]

Отсюда \(\sin x = 0 \;\Rightarrow\; x = \pi n\) или \(\cos x = \sin x \;\Rightarrow\; \tan x = 1 \;\Rightarrow\; x = \frac{\pi}{4} + \pi n\).

✅ Получили тот же результат.

✅ Ответ (пункт а)

\[ x = \pi n,\quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n\in\mathbb{Z} \]

🎯 б) Корни на отрезке \(\displaystyle\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]\)

\[ \left[-\frac{7\pi}{2};\; -2\pi\right] \;\approx\; [-3.5\pi;\; -2\pi] \;\approx\; [-10.9956;\; -6.2832] \]
\(x = \pi n\)
перебираем \(n\): \(-3,\,-2\)
\(-3\pi,\; -2\pi\)
≈ \(-9.4248,\; -6.2832\)
оба входят
\(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\)
\(n = -3\)
\(-\frac{11\pi}{4}\)
≈ \(-8.6394\)
входит

📏 Проверка попадания в отрезок

  • • \(n = -3\) для \(x=\pi n\): \(x = -3\pi \approx -9.4248\) ∈ \([-10.996; -6.283]\) ✔
  • • \(n = -2\) для \(x=\pi n\): \(x = -2\pi \approx -6.2832\) — правая граница (включительно) ✔
  • • \(n = -3\) для \(x=\frac{\pi}{4}+\pi n\): \(x = \frac{\pi}{4}-3\pi = -\frac{11\pi}{4} \approx -8.6394\) ∈ отрезок ✔
  • • \(n = -4\) для второй серии: \(x = \frac{\pi}{4} -4\pi = -\frac{15\pi}{4} \approx -11.781\) — меньше левой границы ❌

Таким образом, отобраны три корня.

✅ Ответ (пункт б)

\[ -3\pi,\quad -\frac{11\pi}{4},\quad -2\pi \]

🔍 Проверка найденных корней

1. \(x = -3\pi\)

\(\sin 2x = \sin(-6\pi) = 0,\quad \cos 2x = \cos(-6\pi) = 1\)

\(\sin 2x + \cos 2x = 0 + 1 = 1\) ✓

2. \(x = -2\pi\)

\(\sin 2x = \sin(-4\pi) = 0,\quad \cos 2x = \cos(-4\pi) = 1\)

\(0 + 1 = 1\) ✓

3. \(x = -\dfrac{11\pi}{4}\)

\(2x = -\dfrac{11\pi}{2} = -\dfrac{3\pi}{2} — 4\pi\)

\(\sin\left(-\frac{11\pi}{2}\right) = \sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 1,\quad \cos\left(-\frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 0\)

\(1 + 0 = 1\) ✓

Все три корня удовлетворяют исходному уравнению.

📐 Единичная окружность (угол \(2x + \frac{\pi}{4}\))

Уравнение \(\sin(2x+\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) означает, что соответствующий луч пересекает окружность в точках с ординатой \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) — это углы \(\frac{\pi}{4}\) и \(\frac{3\pi}{4}\) с периодом \(2\pi\). Отсюда и получены две серии решений.

🧩 Решение полностью проверено, посторонних корней нет.
Прокрутить вверх