\[ \sqrt{2\cos^3 x — \sin^2 x — 2\cos x — \sin x} = \sqrt{\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right)} \]
📌 Часть а) Общее решение
1
Область определения (ОДЗ)
Подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
\[ 2\cos^3 x — \sin^2 x — 2\cos x — \sin x \ge 0 \]
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \ge 0 \]
Упрощаем второе условие:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \ge 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x \le 0 \]
📍 Первое условие проверим после нахождения кандидатов в корни.
2
Возведение в квадрат
При выполнении ОДЗ возводим обе части в квадрат:
\[ 2\cos^3 x — \sin^2 x — 2\cos x — \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) \]
\[ 2\cos^3 x — \sin^2 x — 2\cos x — \sin x = -\sin x \]
\[ 2\cos^3 x — \sin^2 x — 2\cos x = 0 \]
3
Замена \(\sin^2 x = 1 — \cos^2 x\)
\[ 2\cos^3 x — (1 — \cos^2 x) — 2\cos x = 0 \]
\[ 2\cos^3 x + \cos^2 x — 2\cos x — 1 = 0 \]
4
Решение кубического уравнения
Замена \(t = \cos x\):
\[ 2t^3 + t^2 — 2t — 1 = 0 \]
Проверяем возможные рациональные корни (делители свободного члена: ±1):
\[ t = 1: \quad 2 + 1 — 2 — 1 = 0 \quad \text{✅ корень} \]
\[ t = -1: \quad -2 + 1 + 2 — 1 = 0 \quad \text{✅ корень} \]
Делим многочлен на \((t-1)(t+1) = t^2 — 1\):
\[ (t^2 — 1)(2t + 1) = 0 \]
\[ t^2 — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = \pm 1 \]
\[ 2t + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad t = -\frac{1}{2} \]
\[ \cos x = 1, \quad \cos x = -1, \quad \cos x = -\frac{1}{2} \]
5
Учет ОДЗ: \(\sin x \le 0\)
✅ \(\cos x = 1\)
\[ \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x \le 0 \quad \text{✅} \]
\[ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
✅ \(\cos x = -1\)
\[ \sin x = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin x \le 0 \quad \text{✅} \]
\[ x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
🔍 \(\cos x = -\frac{1}{2}\)
\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \]
\[ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \quad \text{❌ не подходит} \]
\[ \sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0 \quad \text{✅ подходит} \]
\[ x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
6
Проверка условия \(A \ge 0\) (левая часть под корнем)
Для серии \(x = 2\pi n\): \(\cos x = 1, \sin x = 0\)
\[ A = 2\cdot1^3 — 0^2 — 2\cdot1 — 0 = 2 — 2 = 0 \quad \text{✅} \]
Для серии \(x = \pi + 2\pi n\): \(\cos x = -1, \sin x = 0\)
\[ A = 2(-1)^3 — 0^2 — 2(-1) — 0 = -2 + 2 = 0 \quad \text{✅} \]
Для серии \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\): \(\cos x = -\frac{1}{2}, \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\[ A = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 — 2\left(-\frac{1}{2}\right) — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
\[ = -\frac{1}{4} — \frac{3}{4} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ = -1 + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \quad \text{✅} \]
💡 Все три серии удовлетворяют условию \(A \ge 0\).
7
Объединение серий
Объединяем \(\cos x = 1\) и \(\cos x = -1\):
\[ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
(при четных \(n\): \(\cos x = 1\), при нечетных: \(\cos x = -1\))
Окончательное общее решение:
\[ \boxed{x = \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}} \]
✅ Ответ для части а)
\[ \boxed{x = \pi n,\ n \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}} \]
🎯 Часть б) Корни на отрезке \([ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} ]\)
📊 Интервал:
\[ [ -4\pi; -\frac{5\pi}{2} ] \approx [-12.5664; -7.8540] \]
📌 \(x = \pi n\)
\( -4\pi \le \pi n \le -\frac{5\pi}{2} \)
\( -4 \le n \le -2.5 \)
\(n = -4\): \(x = -4\pi\) ≈ -12.566
\(n = -3\): \(x = -3\pi\) ≈ -9.425
📌 \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\)
\( -4\pi \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{5\pi}{2} \)
\( -\frac{5}{3} \le n \le -\frac{11}{12} \)
\(n = -1\): \(x = -\frac{8\pi}{3}\) ≈ -8.378
8
Итоговые корни на отрезке
\(-4\pi\)
≈ -12.5664
\(-3\pi\)
≈ -9.4248
\(-\frac{8\pi}{3}\)
≈ -8.3776
✅ Ответ для части б)
\[ \boxed{-4\pi,\ -3\pi,\ -\frac{8\pi}{3}} \]
9
Финальная проверка корня \(-\frac{8\pi}{3}\)
Левая часть под корнем:
\[ = 2\left(-\frac{1}{2}\right)^3 — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 — 2\left(-\frac{1}{2}\right) — \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \]
\[ = -\frac{1}{4} — \frac{3}{4} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0 \]
Правая часть под корнем:
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} — \frac{8\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{13\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{2}} \quad \text{✅} \]
✓ Корень удовлетворяет всем условиям