\[
\frac{\sin^4 x — \sin\left(2x — \frac{\pi}{2}\right) — \cos^2 x}
{2\sin^2\left(\frac{x}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 3\cos\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{4}\right) — 2} = 0
\]
📌 Часть а) Общее решение
1
Условие равенства нулю дроби
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда:
\[
\sin^4 x — \sin\left(2x — \frac{\pi}{2}\right) — \cos^2 x = 0
\]
\[
2\sin^2\left(\frac{x}{4} — \frac{\pi}{4}\right) + 3\cos\left(\frac{\pi}{4} — \frac{x}{4}\right) — 2 \neq 0
\]
2
Упрощение числителя
Формула приведения: \(\sin\left(2x — \frac{\pi}{2}\right) = -\cos 2x\)
\[
\sin^4 x + \cos 2x — \cos^2 x = 0
\]
Выражаем \(\cos 2x = 1 — 2\sin^2 x\) и \(\cos^2 x = 1 — \sin^2 x\):
\[
\sin^4 x + (1 — 2\sin^2 x) — (1 — \sin^2 x) = 0
\]
\[
\sin^4 x — \sin^2 x = 0
\]
\[
\sin^2 x (\sin^2 x — 1) = 0
\]
3
Решение уравнений для числителя
✅ \(\sin^2 x = 0\):
\[
\sin x = 0
\]
\[
x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}
\]
✅ \(\sin^2 x = 1\):
\[
\sin x = \pm 1
\]
\[
x = \frac{\pi}{2} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}
\]
4
Исследование знаменателя
Замена \(t = \frac{x}{4} — \frac{\pi}{4}\):
\[
2\sin^2 t + 3\cos t — 2 = 0
\]
\[
2(1 — \cos^2 t) + 3\cos t — 2 = 0
\]
\[
-2\cos^2 t + 3\cos t = 0
\]
\[
\cos t (3 — 2\cos t) = 0
\]
Так как \(| \cos t | \le 1\), то \(3 — 2\cos t > 0\) для всех \(t\):
\[
\cos t = 0
\]
\[
t = \frac{\pi}{2} + \pi k
\]
\[
\frac{x}{4} — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + \pi k
\]
\[
x = 3\pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
⚡ Знаменатель равен нулю при \(x = 3\pi + 4\pi k\). Эти значения исключаются из решений.
5
Исключение запрещённых корней
📌 Для серии \(x = \frac{\pi}{2} + \pi m\):
\[
\frac{\pi}{2} + \pi m = 3\pi + 4\pi k
\]
\[
\pi m = \frac{5\pi}{2} + 4\pi k
\]
Нет целых \(m\) — все корни допустимы.
📌 Для серии \(x = \pi n\):
\[
\pi n = 3\pi + 4\pi k
\]
\[
n = 3 + 4k
\]
Запрещены \(n = 3, 7, 11, \ldots\) и \(n = -1, -5, -9, \ldots\)
Допустимые значения \(x = \pi n\) разбиваются на две серии:
\[
x = 2\pi p, \quad p \in \mathbb{Z} \quad (n = 2p)
\]
\[
x = \pi + 4\pi l, \quad l \in \mathbb{Z} \quad (n = 1 + 4l)
\]
✅ Ответ для части а)
\[
\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi m,\quad m \in \mathbb{Z}}
\]
\[
\boxed{x = 2\pi p,\quad p \in \mathbb{Z}}
\]
\[
\boxed{x = \pi + 4\pi l,\quad l \in \mathbb{Z}}
\]
🎯 Часть б) Корни на отрезке \([0; 4\pi]\)
📊 Интервал:
\[ [0; 4\pi] \approx [0; 12.5664] \]
1
Отбор корней на отрезке
📌 \(x = \frac{\pi}{2} + \pi m\)
\[ 0 \le \frac{\pi}{2} + \pi m \le 4\pi \]
\[ -\frac{1}{2} \le m \le 3.5 \implies m = 0,1,2,3 \]
\(\frac{\pi}{2}\)
\(\frac{3\pi}{2}\)
\(\frac{5\pi}{2}\)
\(\frac{7\pi}{2}\)
📌 \(x = 2\pi p\)
\[ 0 \le 2\pi p \le 4\pi \]
\[ 0 \le p \le 2 \implies p = 0,1,2 \]
\(0\)
\(2\pi\)
\(4\pi\)
📌 \(x = \pi + 4\pi l\)
\[ 0 \le \pi + 4\pi l \le 4\pi \]
\[ -0.25 \le l \le 0.75 \implies l = 0 \]
\(\pi\)
2
Все корни на отрезке
\(0\)
0.000
\(\frac{\pi}{2}\)
1.571
\(\pi\)
3.142
\(\frac{3\pi}{2}\)
4.712
\(2\pi\)
6.283
\(\frac{5\pi}{2}\)
7.854
\(\frac{7\pi}{2}\)
10.996
\(4\pi\)
12.566
✅ Ответ для части б)
\[
\boxed{0,\ \frac{\pi}{2},\ \pi,\ \frac{3\pi}{2},\ 2\pi,\ \frac{5\pi}{2},\ \frac{7\pi}{2},\ 4\pi}
\]
✅ Все корни отобраны с учетом ОДЗ знаменателя