\[ \cos 2x \cdot \sin 4x — \cos 4x \cdot \sin \frac{5\pi}{6} = \cos\left(2x — \frac{\pi}{2}\right) \]
📌 Часть а) Общее решение
1
Упрощение известных значений
\[ \sin\frac{5\pi}{6} = \frac{1}{2} \]
\[ \cos\left(2x — \frac{\pi}{2}\right) = \sin 2x \]
\[ \cos 2x \cdot \sin 4x — \frac{1}{2} \cos 4x = \sin 2x \]
2
Формулы двойного угла
\[ \sin 4x = 2\sin 2x \cos 2x \]
\[ \cos 4x = 2\cos^2 2x — 1 \]
\[ \cos 2x \cdot (2\sin 2x \cos 2x) — \frac{1}{2} (2\cos^2 2x — 1) = \sin 2x \]
\[ 2\sin 2x \cos^2 2x — \cos^2 2x + \frac{1}{2} = \sin 2x \]
3
Замена переменной
Пусть \(t = \sin 2x\), тогда \(\cos^2 2x = 1 — t^2\):
\[ (1 — t^2)(2t — 1) — t + \frac{1}{2} = 0 \]
\[ 2t — 1 — 2t^3 + t^2 — t + \frac{1}{2} = 0 \]
\[ -2t^3 + t^2 + t — \frac{1}{2} = 0 \]
\[ 4t^3 — 2t^2 — 2t + 1 = 0 \]
4
Кубическое уравнение
Проверяем \(t = \frac{1}{2}\):
\[ 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 — 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 — 2\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} — 1 + 1 = 0 \]
\[ (t — \frac{1}{2})(4t^2 — 2) = 0 \]
\[ 4t^2 — 2 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow t = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \sin 2x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \sin 2x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \]
5
Решение уравнений
✅ sin 2x = ½
\[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{12} + \pi n \]
\[ 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi n \]
✅ sin 2x = √2/2
\[ 2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{8} + \pi n \]
\[ 2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{3\pi}{8} + \pi n \]
✅ sin 2x = -√2/2
\[ 2x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{8} + \pi n \]
\[ 2x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \quad \Rightarrow \quad x = \frac{5\pi}{8} + \pi n \]
6
Объединение серий
Решения \(\sin 2x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}\) объединяются:
\[ 2x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \]
\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k \quad (k \in \mathbb{Z}) \]
💡 Эта серия содержит все корни из случаев 2 и 3
✅ Ответ для части а)
\[ \boxed{x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{4}k,\quad k \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = \frac{\pi}{12} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = \frac{5\pi}{12} + \pi m,\quad m \in \mathbb{Z}} \]
🎯 Часть б) Корни на отрезке \([-3\pi; -2\pi]\)
📊 Интервал:
\[ [-3\pi; -2\pi] \approx [-9.4248; -6.2832] \]
📌 x = π/8 + πk/4
k = -12, -11, -10, -9
k = -12: -23π/8 ≈ -9.032
k = -11: -21π/8 ≈ -8.247
k = -10: -19π/8 ≈ -7.461
k = -9: -17π/8 ≈ -6.676
📌 x = π/12 + πn
n = -3
x = -35π/12 ≈ -9.162
📌 x = 5π/12 + πm
m = -3
x = -31π/12 ≈ -8.115
7
Корни в порядке возрастания
\(-\frac{35\pi}{12}\)
≈ -9.1620
\(-\frac{23\pi}{8}\)
≈ -9.0321
\(-\frac{21\pi}{8}\)
≈ -8.2467
\(-\frac{31\pi}{12}\)
≈ -8.1150
\(-\frac{19\pi}{8}\)
≈ -7.4613
\(-\frac{17\pi}{8}\)
≈ -6.6759
✅ Ответ для части б)
\[ \boxed{-\frac{35\pi}{12},\ -\frac{23\pi}{8},\ -\frac{21\pi}{8},\ -\frac{31\pi}{12},\ -\frac{19\pi}{8},\ -\frac{17\pi}{8}} \]
✅ Все корни отобраны с учетом периода