ЕГЭ 13-в3. Тригонометрическое уравнение

От /

Решение тригонометрического уравнения
\[ 2\sin^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}\right)\cdot\sin^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \cos^4 x \]

Часть а) Решение уравнения

1

Упрощение левой части с помощью формулы преобразования произведения

Используем формулу:

\(\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) — \cos(A+B)]\)

Сначала преобразуем произведение синусов (без квадратов):

\[ \sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\left[\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) — \cos x\right] \]

Поскольку \(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0\), получаем:

\[ \sin\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{2}\cos x \]

Теперь возводим в квадрат:

\[ \sin^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}\right) \cdot \sin^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{4}\cos^2 x \]

Умножаем на 2 (как в исходном уравнении):

\[ 2\sin^2\left(\frac{x}{2} — \frac{\pi}{4}\right)\cdot\sin^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}\cos^2 x \]
2

Получение упрощенного уравнения

Подставляем упрощенную левую часть в исходное уравнение:

\[ \frac{1}{2}\cos^2 x = \cos^4 x \]

Переносим всё в одну сторону:

\[ \cos^4 x — \frac{1}{2}\cos^2 x = 0 \]

Выносим общий множитель:

\[ \cos^2 x \left(\cos^2 x — \frac{1}{2}\right) = 0 \]
3

Решение уравнения

Получаем два случая:

Случай 1: \(\cos^2 x = 0\)

\[ \cos x = 0 \] \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Случай 2: \(\cos^2 x = \frac{1}{2}\)

\[ \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ x = \pm \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] \[ \text{или} \quad x = \pm \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Объединяя эти решения, можно записать:

\[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Но также остаются решения из первого случая, поэтому окончательно:

\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ для части а):

\[ \boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}} \] \[ \boxed{x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}} \]

Часть б) Корни на отрезке \([-3\pi; -2\pi]\)

Находим корни, принадлежащие отрезку:

\[ [-3\pi; -2\pi] \approx [-9.42; -6.28] \]
1

Корни первого семейства: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\)

Решаем неравенство:

\[ -3\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi k \leq -2\pi \]

Делим на \(\pi\):

\[ -3 \leq \frac{1}{2} + k \leq -2 \]

Вычитаем \(\frac{1}{2}\):

\[ -3.5 \leq k \leq -2.5 \]

Целое значение: \(k = -3\)

Вычисляем корень:

\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi(-3) = \frac{\pi}{2} — 3\pi = -\frac{5\pi}{2} \approx -7.85 \]
2

Корни второго семейства: \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}\)

Решаем неравенство:

\[ -3\pi \leq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \leq -2\pi \]

Делим на \(\pi\):

\[ -3 \leq \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \leq -2 \]

Вычитаем \(\frac{1}{4}\):

\[ -3.25 \leq \frac{k}{2} \leq -2.25 \]

Умножаем на 2:

\[ -6.5 \leq k \leq -4.5 \]

Целые значения: \(k = -6, -5\)

Вычисляем соответствующие корни:

  • При \(k = -6\): \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(-6)}{2} = \frac{\pi}{4} — 3\pi = -\frac{11\pi}{4} \approx -8.64\)
  • При \(k = -5\): \(x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi(-5)}{2} = \frac{\pi}{4} — \frac{5\pi}{2} = -\frac{9\pi}{4} \approx -7.07\)

Ответ для части б):

Корни на отрезке \([-3\pi; -2\pi]\):

\(-\frac{11\pi}{4} \approx -8.64\)
\(-\frac{5\pi}{2} \approx -7.85\)
\(-\frac{9\pi}{4} \approx -7.07\)

Графическая иллюстрация

Объяснение графика

На графике изображены:

  • Синяя линия -левая часть уравнения
  • Красная линия — правая часть уравнения
  • Зелёные точки: корни уравнения на отрезке \([-3\pi; -2\pi]\) с числовыми значениями:
    • \(-8.64\) (примерно \(-\frac{11\pi}{4}\))
    • \(-7.85\) (примерно \(-\frac{5\pi}{2}\))
    • \(-7.07\) (примерно \(-\frac{9\pi}{4}\))
  • Серые вертикальные линии: границы отрезка \(x = -3\pi \approx -9.42\) и \(x = -2\pi \approx -6.28\)

    • Корни уравнения — это точки пересечения синей и красной линий.

    Прокрутить вверх