\[ \frac{4\sin^3 x — 2\sin x}{\sin(2x — \pi)} = 1 \]
Часть а) Решение уравнения
1
Упрощение знаменателя
Формула приведения: \(\sin(\alpha — \pi) = -\sin\alpha\)
\[ \sin(2x — \pi) = -\sin 2x \]
2
Упрощение числителя
\[ 4\sin^3 x — 2\sin x = 2\sin x(2\sin^2 x — 1) = -2\sin x\cos 2x \]
3
Подстановка и упрощение
\[ \frac{-2\sin x\cos 2x}{-\sin 2x} = 1 \]
\[ \frac{2\sin x\cos 2x}{\sin 2x} = 1 \]
\[ \frac{2\sin x\cos 2x}{2\sin x\cos x} = 1 \quad (\sin x \neq 0) \]
\[ \frac{\cos 2x}{\cos x} = 1 \quad (\cos x \neq 0) \]
4
Решение уравнения
\[ \cos 2x = \cos x \]
\[ 2\cos^2 x — 1 = \cos x \]
\[ 2\cos^2 x — \cos x — 1 = 0 \]
\[ \cos x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{1}{2} \]
5
Общие решения
\[ \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} \]
\[ \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z} \]
6
Проверка ограничений
Проверим \(x = 2\pi k\):
При \(x = 2\pi k\): \(\sin x = 0\), знаменатель \(\sin(2x — \pi) = 0\) ⇒ не подходит
Проверим \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n\):
\(\sin x \neq 0\), \(\sin 2x \neq 0\), \(\cos x \neq 0\) ⇒ подходят
Ответ для части а):
\[ \boxed{x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}} \]
Часть б) Корни на отрезке \([-3\pi; -\frac{\pi}{2}]\)
1
Находим корни на отрезке
Отрезок: \([-3\pi; -\frac{\pi}{2}] \approx [-9.42; -1.57]\)
Первое семейство: \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\)
\[ -3\pi \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \leq -\frac{\pi}{2} \]
Для \(k = -1\): \(x = \frac{2\pi}{3} — 2\pi = -\frac{4\pi}{3} \approx -4.19\) ✓
Для \(k = -2\): \(x = \frac{2\pi}{3} — 4\pi = -\frac{10\pi}{3} \approx -10.47\) ✗
Второе семейство: \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\)
\[ -3\pi \leq -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq -\frac{\pi}{2} \]
Для \(n = 0\): \(x = -\frac{2\pi}{3} \approx -2.09\) ✓
Для \(n = -1\): \(x = -\frac{2\pi}{3} — 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \approx -8.38\) ✓
Ответ для части б):
Корни на отрезке \([-3\pi; -\frac{\pi}{2}]\):
\(-\frac{8\pi}{3} \approx -8.38\)
\(-\frac{4\pi}{3} \approx -4.19\)
\(-\frac{2\pi}{3} \approx -2.09\)
\[ \boxed{-\frac{8\pi}{3},\; -\frac{4\pi}{3},\; -\frac{2\pi}{3}} \]