\[ \sin x \cdot \cos 2x — \sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0 \]
Часть а) Решение уравнения
1
Преобразуем уравнение
\[ \sin x \cdot \cos 2x + \sin x — \sqrt{3} \cos^2 x = 0 \]
\[ \sin x (\cos 2x + 1) — \sqrt{3} \cos^2 x = 0 \]
2
Используем формулу косинуса двойного угла
Формула: \(\cos 2x = 2\cos^2 x — 1\), поэтому \(\cos 2x + 1 = 2\cos^2 x\)
\[ \sin x \cdot 2\cos^2 x — \sqrt{3} \cos^2 x = 0 \]
\[ \cos^2 x (2\sin x — \sqrt{3}) = 0 \]
3
Решаем два случая
Случай 1: \(\cos^2 x = 0\)
\[ \cos x = 0 \]
\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Случай 2: \(2\sin x — \sqrt{3} = 0\)
\[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Проверим решение \(\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\):
\[ \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} \]
\[ \cos^2\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
Подставим:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) — \sqrt{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{4} — \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \]
✓ Решение верное
Ответ для части а):
\[ \boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \; n \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m, \; m \in \mathbb{Z}} \]
Часть б) Корни на отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\)
1
Анализ отрезка
Отрезок: \(\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right] \approx [7.85; 12.57]\)
Найдем корни каждого семейства, попадающие в этот отрезок.
2
Семейство 1: \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\)
\[ \frac{5\pi}{2} \leq \frac{\pi}{2} + \pi k \leq 4\pi \]
\[ 2.5\pi \leq 0.5\pi + \pi k \leq 4\pi \]
\[ 2\pi \leq \pi k \leq 3.5\pi \]
\[ 2 \leq k \leq 3.5 \]
Целые \(k\): \(k = 3\)
\[ x = \frac{\pi}{2} + 3\pi = \frac{7\pi}{2} \approx 10.99 \]
Проверим \(k = 2\):
\[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85 \]
Это левая граница отрезка, проверяем подстановкой:
\[ \sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 1, \quad \cos(5\pi) = -1, \quad \cos^2\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 0 \]
\[ 1 \cdot (-1) — \sqrt{3} \cdot 0 + 1 = -1 + 1 = 0 \]
✓ Корень \(\frac{5\pi}{2}\) подходит!
3
Семейство 2: \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\)
\[ \frac{5\pi}{2} \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq 4\pi \]
\[ 2.5\pi \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq 4\pi \]
\[ \frac{13\pi}{6} \leq 2\pi n \leq \frac{11\pi}{3} \]
\[ \frac{13}{12} \leq n \leq \frac{11}{6} \]
\[ 1.083 \leq n \leq 1.833 \]
Нет целых \(n\) в этом промежутке.
Проверим \(n = 1\):
\[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \approx 7.33 \]
Это меньше чем \(7.85\), не входит в отрезок.
Проверим \(n = 2\):
\[ x = \frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3} \approx 13.61 \]
Это больше чем \(12.57\), не входит в отрезок.
4
Семейство 3: \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m\)
\[ \frac{5\pi}{2} \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \leq 4\pi \]
\[ 2.5\pi \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \leq 4\pi \]
\[ \frac{11\pi}{6} \leq 2\pi m \leq \frac{10\pi}{3} \]
\[ \frac{11}{12} \leq m \leq \frac{5}{3} \]
\[ 0.917 \leq m \leq 1.667 \]
Целое \(m = 1\)
\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38 \]
✓ Входит в отрезок \([7.85; 12.57]\)
Проверим \(m = 0\):
\[ x = \frac{2\pi}{3} \approx 2.09 \] — не входит
Проверим \(m = 2\):
\[ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3} \approx 14.66 \] — не входит
5
Итоговый перечень корней
На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\) найдены корни:
- \(x = \frac{5\pi}{2}\) (из первого семейства при \(k = 2\))
- \(x = \frac{8\pi}{3}\) (из третьего семейства при \(m = 1\))
- \(x = \frac{7\pi}{2}\) (из первого семейства при \(k = 3\))
Проверим, не пропущены ли другие корни:
Для второго семейства: \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\)
\(n = 1\): \(x = \frac{7\pi}{3} \approx 7.33\) — меньше \(7.85\)
\(n = 2\): \(x = \frac{13\pi}{3} \approx 13.61\) — больше \(12.57\)
Корней нет.
\(n = 1\): \(x = \frac{7\pi}{3} \approx 7.33\) — меньше \(7.85\)
\(n = 2\): \(x = \frac{13\pi}{3} \approx 13.61\) — больше \(12.57\)
Корней нет.
Ответ для части б):
Корни на отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]\):
\(\frac{5\pi}{2} \approx 7.85\)
\(\frac{8\pi}{3} \approx 8.38\)
\(\frac{7\pi}{2} \approx 10.99\)
\[ \boxed{\frac{5\pi}{2},\; \frac{8\pi}{3},\; \frac{7\pi}{2}} \]
В порядке возрастания: \(\frac{5\pi}{2} < \frac{8\pi}{3} < \frac{7\pi}{2}\)
Проверка всех найденных корней:
- \(\frac{5\pi}{2}\): \(\sin\frac{5\pi}{2} = 1\), \(\cos 5\pi = -1\), \(\cos^2\frac{5\pi}{2} = 0\) \(1 \cdot (-1) — \sqrt{3} \cdot 0 + 1 = 0\) ✓
- \(\frac{8\pi}{3}\): \(\sin\frac{8\pi}{3} = \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\cos\frac{16\pi}{3} = \cos\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}\), \(\cos^2\frac{8\pi}{3} = \frac{1}{4}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) — \sqrt{3} \cdot \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0\) ✓
- \(\frac{7\pi}{2}\): \(\sin\frac{7\pi}{2} = -1\), \(\cos 7\pi = -1\), \(\cos^2\frac{7\pi}{2} = 0\) \((-1) \cdot (-1) — \sqrt{3} \cdot 0 + (-1) = 1 — 1 = 0\) ✓