\[ 4\sqrt{3}\cos^3 x = \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) \]
Часть а) Решение уравнения
1
Упростим правую часть с помощью формулы приведения
\[ \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin 2x \]
2
Запишем уравнение в упрощенном виде
\[ 4\sqrt{3}\cos^3 x = -\sin 2x \]
\[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \]
\[ 4\sqrt{3}\cos^3 x = -2\sin x \cos x \]
3
Перенесем все в одну сторону
\[ 4\sqrt{3}\cos^3 x + 2\sin x \cos x = 0 \]
\[ 2\cos x (2\sqrt{3}\cos^2 x + \sin x) = 0 \]
4
Решаем два случая
Случай 1: \(\cos x = 0\)
\[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \]
Случай 2: \(2\sqrt{3}\cos^2 x + \sin x = 0\)
\[ 2\sqrt{3}(1 — \sin^2 x) + \sin x = 0 \]
\[ 2\sqrt{3} — 2\sqrt{3}\sin^2 x + \sin x = 0 \]
\[ 2\sqrt{3}\sin^2 x — \sin x — 2\sqrt{3} = 0 \]
5
Решаем квадратное уравнение относительно \(\sin x\)
\[ \sin x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4\sqrt{3}} = \frac{1 \pm 7}{4\sqrt{3}} \]
Два решения:
\[ \sin x = \frac{8}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} > 1 \] — нет решений
\[ \sin x = \frac{-6}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
6
Находим решения для \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\[ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m \]
\[ (k, m \in \mathbb{Z}) \]
Примечание: Вторую серию можно записать и как \(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi m\), что эквивалентно \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi(m+1)\).
Ответ для части а):
\[ \boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n,\ n \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m,\ m \in \mathbb{Z}} \]
Часть б) Корни на отрезке \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\)
Отрезок: \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}] \approx [-12.566; -7.854]\)
1
Серия \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\)
\[ -4\pi \leq \frac{\pi}{2} + \pi n \leq -\frac{5\pi}{2} \]
\[ -4 \leq \frac{1}{2} + n \leq -\frac{5}{2} \]
\[ -4.5 \leq n \leq -3 \]
Целые \(n\): \(-4, -3\)
\[ n = -4: \quad x = \frac{\pi}{2} — 4\pi = -\frac{7\pi}{2} \approx -10.996 \]
\[ n = -3: \quad x = \frac{\pi}{2} — 3\pi = -\frac{5\pi}{2} \approx -7.854 \]
2
Серия \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\)
\[ -4\pi \leq -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \leq -\frac{5\pi}{2} \]
\[ -2 \leq -\frac{1}{6} + k \leq -\frac{5}{4} \]
\[ -\frac{11}{6} \leq k \leq -\frac{13}{12} \]
Целые \(k\): \(-1\)
\[ k = -1: \quad x = -\frac{\pi}{3} — 2\pi = -\frac{7\pi}{3} \approx -7.330 \]
Проверка принадлежности отрезку:
\[ -\frac{7\pi}{3} \approx -7.330 > -7.854 \ (-\frac{5\pi}{2}) \]
\[ \text{⇒ корень } -\frac{7\pi}{3} \text{ НЕ принадлежит отрезку } [-4\pi; -\frac{5\pi}{2}] \]
3
Серия \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m\)
\[ -4\pi \leq -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m \leq -\frac{5\pi}{2} \]
\[ -2 \leq -\frac{1}{3} + m \leq -\frac{5}{4} \]
\[ -\frac{5}{3} \leq m \leq -\frac{11}{12} \]
Целое \(m\): \(-1\)
\[ m = -1: \quad x = -\frac{2\pi}{3} — 2\pi = -\frac{8\pi}{3} \approx -8.378 \]
\[ \text{✓ Входит в отрезок (лежит между } -4\pi \text{ и } -\frac{5\pi}{2}\text{)} \]
4
Итоговый перечень корней на отрезке
На отрезке \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\) найдены корни:
\[ 1.\ x = -\frac{7\pi}{2} \quad (\text{из первой серии, } n = -4) \]
\[ 2.\ x = -\frac{8\pi}{3} \quad (\text{из третьей серии, } m = -1) \]
\[ 3.\ x = -\frac{5\pi}{2} \quad (\text{из первой серии, } n = -3) \]
В порядке возрастания:
\[ -\frac{7\pi}{2} \ (≈-10.996),\ -\frac{8\pi}{3} \ (≈-8.378),\ -\frac{5\pi}{2} \ (≈-7.854) \]
Ответ для части б):
Корни на отрезке \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\):
\(-\frac{7\pi}{2}\)
\(-\frac{8\pi}{3}\)
\(-\frac{5\pi}{2}\)
\[ \boxed{-\frac{7\pi}{2},\ -\frac{8\pi}{3},\ -\frac{5\pi}{2}} \]
5
Проверка найденных корней
| Корень | \(\cos x\) | \(\sin x\) | Левая часть | Правая часть | Равенство |
|---|---|---|---|---|---|
| \(-\frac{7\pi}{2}\) | 0 | 1 | 0 | 0 | ✓ |
| \(-\frac{8\pi}{3}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | ✓ |
| \(-\frac{5\pi}{2}\) | 0 | -1 | 0 | 0 | ✓ |
Все три корня удовлетворяют исходному уравнению.