\[ (4x^2 + 16x + 15)(\cos x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) — 0.5) = 0 \]
Часть а) Решение уравнения
1
Анализ уравнения
\[ A \cdot B = 0 \quad \Rightarrow \quad A = 0 \text{ или } B = 0 \]
где \(A = 4x^2 + 16x + 15\), \(B = \cos x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) — 0.5\)
2
Решаем квадратное уравнение
\[ 4x^2 + 16x + 15 = 0 \]
\[ D = 16^2 — 4 \cdot 4 \cdot 15 = 256 — 240 = 16 \]
\[ x = \frac{-16 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{-16 \pm 4}{8} \]
\[ x_1 = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5 \]
\[ x_2 = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2} = -1.5 \]
3
Упрощаем тригонометрическую часть
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x \]
\[ \cos x \cdot (-\sin x) — 0.5 = 0 \]
\[ -\cos x \sin x = 0.5 \]
\[ \cos x \sin x = -0.5 \]
4
Применяем формулу синуса двойного угла
\[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \quad \Rightarrow \quad \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x \]
\[ \frac{1}{2} \sin 2x = -0.5 \]
\[ \sin 2x = -1 \]
5
Решаем тригонометрическое уравнение
\[ \sin 2x = -1 \]
\[ 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
\[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Ответ для части а):
\[ \boxed{x = -\frac{5}{2} = -2.5} \]
\[ \boxed{x = -\frac{3}{2} = -1.5} \]
\[ \boxed{x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}} \]
Часть б) Корни на отрезке \(\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]\)
Отрезок: \([-2\pi; -\frac{\pi}{2}] \approx [-6.283; -1.571]\)
1
Проверяем корни из квадратного уравнения
\[ x = -2.5: \quad -2.5 \in [-6.283; -1.571] \quad \text{✓ Входит} \]
\[ x = -1.5: \quad -1.5 \in [-6.283; -1.571] \quad \text{ Не входит} \]
2
Тригонометрические корни: \(x = -\frac{\pi}{4} + \pi n\)
\[ -2\pi \leq -\frac{\pi}{4} + \pi n \leq -\frac{\pi}{2} \]
\[ -2\pi + \frac{\pi}{4} \leq \pi n \leq -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \]
\[ -\frac{7\pi}{4} \leq \pi n \leq -\frac{\pi}{4} \]
\[ -\frac{7}{4} \leq n \leq -\frac{1}{4} \]
\[ -1.75 \leq n \leq -0.25 \]
Целое \(n = -1\):
\[ x = -\frac{\pi}{4} — \pi = -\frac{5\pi}{4} \approx -3.927 \]
✓ Входит в отрезок \([-6.283; -1.571]\)
Проверим другие значения:
\(n = 0\): \(x = -\frac{\pi}{4} \approx -0.785\) — не входит (больше -1.571)
\(n = -2\): \(x = -\frac{\pi}{4} — 2\pi = -\frac{9\pi}{4} \approx -7.069\) — не входит (меньше -6.283)
\(n = -2\): \(x = -\frac{\pi}{4} — 2\pi = -\frac{9\pi}{4} \approx -7.069\) — не входит (меньше -6.283)
3
Итоговый перечень корней на отрезке
После проверки выяснилось:
- \(x = -2.5 = -\frac{5}{2}\) — ВХОДИТ (лежит между -6.283 и -1.571)
- \(x = -\frac{5\pi}{4} \approx -3.927\) — ВХОДИТ
- \(x = -1.5 = -\frac{3}{2}\) — НЕ ВХОДИТ (\(-1.5 > -1.571\))
Ответ для части б):
\[ \boxed{-\frac{5\pi}{4},\; -\frac{5}{2}} \]
4
Проверка корней
1. \(x = -2.5\):
\[ 4(-2.5)^2 + 16(-2.5) + 15 = 4 \cdot 6.25 — 40 + 15 = 25 — 40 + 15 = 0 \quad ✓ \]
2. \(x = -\frac{5\pi}{4}\):
\[ \cos\left(-\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos\left(\frac{\pi}{2} — \frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \cos x \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{1}{2} \]
\[ \frac{1}{2} — 0.5 = 0 \quad ✓ \]