\[ 4\log_2^2(\sin x) — 3\log_{0.5}(\sin^2 x) + 2 = 0 \]
Часть а) Общее решение уравнения
1
Область определения
\[ \sin x > 0 \]
Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому \(\sin x > 0\).
Это означает, что \(x\) находится в интервалах: \( (2\pi n, \pi + 2\pi n),\ n \in \mathbb{Z} \).
2
Упрощение с использованием свойств логарифмов
Преобразуем второй логарифм (основание \(0.5 = 2^{-1}\)):
\[ \log_{0.5}(\sin^2 x) = \frac{\log_2(\sin^2 x)}{\log_2(0.5)} = \frac{2\log_2(\sin x)}{-1} = -2\log_2(\sin x) \]
Введем замену: \( t = \log_2(\sin x) \)
\[ 4t^2 — 3(-2t) + 2 = 0 \]
\[ 4t^2 + 6t + 2 = 0 \]
3
Решение квадратного уравнения
\[ 4t^2 + 6t + 2 = 0 \]
\[ 2t^2 + 3t + 1 = 0 \quad \text{(делим на 2)} \]
Дискриминант: \( D = 9 — 8 = 1 \)
\[ t = \frac{-3 \pm 1}{4} \]
\[ t_1 = -\frac{1}{2}, \quad t_2 = -1 \]
4
Возврат к исходной переменной
Случай 1: \( t = -\dfrac{1}{2} \)
\[ \log_2(\sin x) = -\frac{1}{2} \]
\[ \sin x = 2^{-1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Случай 2: \( t = -1 \)
\[ \log_2(\sin x) = -1 \]
\[ \sin x = \frac{1}{2} \]
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Все полученные значения \(x\) удовлетворяют условию \(\sin x > 0\),
так как синус равен положительным числам \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\frac{1}{2}\).
Ответ для части а):
\[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \]
\[ x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \]
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \]
\[ x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z} \]
Часть б) Корни на отрезке \(\left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]\)
Отрезок: \(\left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right] \approx [-10.9956;\ -6.2832]\)
Условие ОДЗ: \(\sin x > 0\) выполняется на интервалах \((-3\pi, -2\pi)\) и \((-5\pi, -4\pi)\) внутри данного отрезка.
1
Поиск корней в каждой серии
Серия: \(x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n\)
\[ -\frac{7\pi}{2} \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq -2\pi \]
\[ -\frac{15}{8} \leq n \leq -\frac{9}{8} \]
Нет целых \(n\) в этом интервале.
Серия: \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n\)
\[ -\frac{7\pi}{2} \leq \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq -2\pi \]
\[ -\frac{17}{8} \leq n \leq -\frac{11}{8} \]
Целое \(n = -2\):
\[ x = \frac{3\pi}{4} — 4\pi = -\frac{13\pi}{4} \]≈ -10.2102 ✓
Серия: \(x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n\)
\[ -\frac{7\pi}{2} \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq -2\pi \]
\[ -\frac{11}{3} \leq n \leq -\frac{13}{12} \]
Возможные \(n = -2, -3\) дают корни вне отрезка.
Серия: \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n\)
\[ -\frac{7\pi}{2} \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \leq -2\pi \]
\[ -\frac{13}{3} \leq n \leq -\frac{17}{12} \]
Целое \(n = -2\):
\[ x = \frac{5\pi}{6} — 4\pi = -\frac{19\pi}{6} \]≈ -9.9484 ✓
2
Итоговые корни на отрезке
На отрезке \(\left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]\) найдены два корня:
- \(x_1 = -\dfrac{13\pi}{4} \approx -10.2102\) (серия \(x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n\), \(n = -2\))
- \(x_2 = -\dfrac{19\pi}{6} \approx -9.9484\) (серия \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n\), \(n = -2\))
В порядке возрастания: \(-\dfrac{13\pi}{4} < -\dfrac{19\pi}{6}\)
Ответ для части б):
\[ \boxed{-\frac{13\pi}{4},\ -\frac{19\pi}{6}} \]
Проверка найденных корней
Для \(x = -\dfrac{13\pi}{4}\):
\[ \sin x = \sin\left(-\frac{13\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
\[ \log_2(\sin x) = \log_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{1}{2} \]
Подстановка:
\[ 4\left(-\frac{1}{2}\right)^2 — 3\log_{0.5}\left(\frac{1}{2}\right) + 2 = 4 \cdot \frac{1}{4} — 3 \cdot 1 + 2 = 1 — 3 + 2 = 0 \quad \text{✓} \]
Для \(x = -\dfrac{19\pi}{6}\):
\[ \sin x = \sin\left(-\frac{19\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \]
\[ \log_2(\sin x) = \log_2\left(\frac{1}{2}\right) = -1 \]
Подстановка:
\[ 4(-1)^2 — 3\log_{0.5}\left(\frac{1}{4}\right) + 2 = 4 \cdot 1 — 3 \cdot 2 + 2 = 4 — 6 + 2 = 0 \quad \text{✓} \]
Вывод: Оба корня удовлетворяют исходному уравнению и находятся в заданном отрезке.