\[ 2\sin^2 x — 3\cos(-x) — 3 = 0 \]
Часть а) Общее решение уравнения
1
Упрощение уравнения
Используем свойство четности косинуса: \(\cos(-x) = \cos x\)
\[ 2\sin^2 x — 3\cos x — 3 = 0 \]
2
Замена через основное тригонометрическое тождество
Используем тождество: \(\sin^2 x = 1 — \cos^2 x\)
\[ 2(1 — \cos^2 x) — 3\cos x — 3 = 0 \]
\[ 2 — 2\cos^2 x — 3\cos x — 3 = 0 \]
\[ -2\cos^2 x — 3\cos x — 1 = 0 \]
\[ 2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0 \quad \text{(умножили на } -1\text{)} \]
3
Решение квадратного уравнения
Сделаем замену: \(t = \cos x\), где \(-1 \le t \le 1\)
\[ 2t^2 + 3t + 1 = 0 \]
Дискриминант: \( D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1 \)
\[ t = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4} \]
\[ t_1 = \frac{-3 — 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]
\[ t_2 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
Оба значения принадлежат отрезку \([-1, 1]\), поэтому оба дают решения.
4
Возвращаемся к переменной \(x\)
Случай 1: \(\cos x = -1\)
\[ x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Случай 2: \(\cos x = -\frac{1}{2}\)
\[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Значение \(\cos x = -\frac{1}{2}\) соответствует углам \(120^\circ\) и \(240^\circ\),
которые в радианах равны \(\frac{2\pi}{3}\) и \(\frac{4\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi\).
Ответ для части а):
\[ \boxed{x = \pi + 2\pi n,\ n \in \mathbb{Z}} \]
\[ \boxed{x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}} \]
Часть б) Корни на отрезке \(\left[ 2\pi; \frac{7\pi}{2} \right]\)
Отрезок: \(\left[ 2\pi; \frac{7\pi}{2} \right] \approx [6.28; 10.99]\)
Серия 1: \(x = \pi + 2\pi n\)
\[ 2\pi \leq \pi + 2\pi n \leq \frac{7\pi}{2} \]
\[ 0.5 \leq n \leq 1.25 \]
Целое \(n = 1\):
\[ x = 3\pi \approx 9.42 \]✓ Принадлежит отрезку
Серия 2: \(x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\)
\[ 2\pi \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \leq \frac{7\pi}{2} \]
\[ 0.67 \leq k \leq 1.42 \]
Целое \(k = 1\):
\[ x = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38 \]✓ Принадлежит отрезку
Серия 3: \(x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m\)
\[ 2\pi \leq -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m \leq \frac{7\pi}{2} \]
\[ 1.33 \leq m \leq 2.08 \]
Целое \(m = 2\):
\[ x = \frac{10\pi}{3} \approx 10.47 \]✓ Принадлежит отрезку
Ответ для части б):
\[ \boxed{3\pi,\ \frac{8\pi}{3},\ \frac{10\pi}{3}} \]
В порядке возрастания: \(\frac{8\pi}{3} \approx 8.38\), \(3\pi \approx 9.42\), \(\frac{10\pi}{3} \approx 10.47\)
Проверка корней в исходном уравнении
| Корень | \(\sin x\) | \(\cos(-x)\) | Подстановка | Результат |
|---|---|---|---|---|
| \(x = 3\pi\) | \(0\) | \(-1\) | \(2\cdot0^2 — 3\cdot(-1) — 3\) | \(0 + 3 — 3 = 0\) ✓ |
| \(x = \frac{8\pi}{3}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(2\cdot\frac{3}{4} — 3\cdot(-\frac{1}{2}) — 3\) | \(\frac{3}{2} + \frac{3}{2} — 3 = 0\) ✓ |
| \(x = \frac{10\pi}{3}\) | \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(2\cdot\frac{3}{4} — 3\cdot(-\frac{1}{2}) — 3\) | \(\frac{3}{2} + \frac{3}{2} — 3 = 0\) ✓ |
Альтернативный метод решения
Можно решить уравнение через разложение на множители:
\[ 2\sin^2 x — 3\cos(-x) — 3 = 0 \]
\[ 2(1 — \cos^2 x) — 3\cos x — 3 = 0 \]
\[ -2\cos^2 x — 3\cos x — 1 = 0 \]
\[ 2\cos^2 x + 3\cos x + 1 = 0 \]
\[ (2\cos x + 1)(\cos x + 1) = 0 \]
Отсюда:
\[ 2\cos x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x = -\frac{1}{2} \]
\[ \cos x + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x = -1 \]
Что приводит к тем же решениям.
Примечание: Для значений \(x = \frac{8\pi}{3}\) и \(x = \frac{10\pi}{3}\) мы используем периодичность тригонометрических функций:
\[ \frac{8\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi \]
\[ \frac{10\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{4\pi}{3} + 2\pi \]