\[ 2^{5\sin 5x} + 6^{1+\sin 5x} = 24^{\sin 5x} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{3}+\sin 5x} \]
Часть а) Общее решение уравнения
Обозначим \( t = \sin 5x \). Тогда уравнение принимает вид:
\[ 2^{5t} + 6^{1+t} = 24^{t} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{3}+t} \]
2
Преобразование степеней
Преобразуем каждое слагаемое:
\[ 6^{1+t} = 6 \cdot 6^t = 6 \cdot (2 \cdot 3)^t = 6 \cdot 2^t \cdot 3^t \]
\[ 24^t = (8 \cdot 3)^t = 8^t \cdot 3^t = 2^{3t} \cdot 3^t \]
\[ 8^{\frac{1}{3}+t} = 8^{\frac{1}{3}} \cdot 8^t = 2 \cdot 2^{3t} = 2^{1+3t} \]
\[ 3 \cdot 8^{\frac{1}{3}+t} = 3 \cdot 2^{1+3t} = 6 \cdot 2^{3t} \]
3
Подстановка и упрощение
\[ 2^{5t} + 6 \cdot 2^t \cdot 3^t = 2^{3t} \cdot 3^t + 6 \cdot 2^{3t} \]
Введем обозначения: \( a = 2^t \), \( b = 3^t \). Тогда уравнение становится:
\[ a^5 + 6ab = a^3b + 6a^3 \]
4
Разложение на множители
\[ a^5 + 6ab — a^3b — 6a^3 = 0 \]
\[ a^3(a^2 — b) + 6a(b — a^2) = 0 \]
\[ a^3(a^2 — b) — 6a(a^2 — b) = 0 \]
\[ (a^2 — b)(a^3 — 6a) = 0 \]
\[ a(a^2 — b)(a^2 — 6) = 0 \]
Так как \( a = 2^t > 0 \) для всех действительных \( t \), то \( a \neq 0 \).
5
Анализ возможных случаев
Случай 1: \( a^2 — b = 0 \)
\[ (2^t)^2 = 3^t \]
\[ 4^t = 3^t \]
\[ \left(\frac{4}{3}\right)^t = 1 \]
\[ t = 0 \]
Случай 2: \( a^2 — 6 = 0 \)
\[ 2^{2t} = 6 \]
\[ t = \frac{\ln 6}{2\ln 2} = \log_4 6 \approx 1.292 \]
Второй случай невозможен, так как \( t = \sin 5x \) и \( |\sin 5x| \leq 1 \),
а \( \log_4 6 \approx 1.292 > 1 \).
6
Возврат к исходной переменной
Итак, \( t = 0 \), то есть \( \sin 5x = 0 \).
\[ \sin 5x = 0 \]
\[ 5x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]
\[ x = \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z} \]
Ответ для части а):
\[ \boxed{x = \frac{\pi n}{5}, \quad n \in \mathbb{Z}} \]
Часть б) Корни на отрезке \( \left[ \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right] \)
Отрезок: \( \left[ \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right] \approx [7.854; 10.996] \)
1
Определение допустимых значений \( n \)
Найдем целые \( n \), для которых \( x = \frac{\pi n}{5} \) принадлежит отрезку:
\[ \frac{5\pi}{2} \leq \frac{\pi n}{5} \leq \frac{7\pi}{2} \]
Умножим все части на \( \frac{5}{\pi} \):
\[ \frac{25}{2} \leq n \leq \frac{35}{2} \]
\[ 12.5 \leq n \leq 17.5 \]
Целые значения \( n \): 13, 14, 15, 16, 17.
\( n = 13 \)
\[ x = \frac{13\pi}{5} \]
≈ 8.168
\( n = 14 \)
\[ x = \frac{14\pi}{5} \]
≈ 8.796
\( n = 15 \)
\[ x = 3\pi \]
≈ 9.425
\( n = 16 \)
\[ x = \frac{16\pi}{5} \]
≈ 10.053
\( n = 17 \)
\[ x = \frac{17\pi}{5} \]
≈ 10.681
Все найденные корни принадлежат отрезку \( \left[ \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right] \).
Ответ для части б):
\[ \boxed{\frac{13\pi}{5},\ \frac{14\pi}{5},\ 3\pi,\ \frac{16\pi}{5},\ \frac{17\pi}{5}} \]
В порядке возрастания (численные значения): 8.168, 8.796, 9.425, 10.053, 10.681
Проверка решения
Для всех найденных корней \( \sin 5x = 0 \), так как \( 5x = \pi n \). Проверим подстановкой в исходное уравнение:
\[ 2^{5\sin 5x} + 6^{1+\sin 5x} = 2^0 + 6^{1+0} = 1 + 6 = 7 \]
\[ 24^{\sin 5x} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{3}+\sin 5x} = 24^0 + 3 \cdot 8^{\frac{1}{3}+0} = 1 + 3 \cdot 2 = 7 \]
Левая и правая части равны 7, что подтверждает правильность решения.
Замечание: Значение \( 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2 \), поэтому
\( 3 \cdot 8^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 2 = 6 \).
7
Дополнительное пояснение
Давайте более подробно рассмотрим, почему второй случай (\( a^2 — 6 = 0 \)) невозможен:
\[ a^2 — 6 = 0 \Rightarrow 2^{2t} = 6 \Rightarrow t = \log_4 6 \]
Оценим значение \( \log_4 6 \):
\[ 4^{1} = 4 < 6 \]
\[ 4^{1.292} \approx 6 \]
\[ 4^{1.5} = 8 > 6 \]
Таким образом, \( \log_4 6 \approx 1.292 > 1 \).
Но так как \( t = \sin 5x \), и для любого действительного \( x \) выполняется \( |\sin 5x| \leq 1 \),
то уравнение \( \sin 5x = \log_4 6 \approx 1.292 \) не имеет решений.
