где \(\lg x = \log_{10} x\)
📘 Необходимые понятия
- Область определения: \(\lg x\) определён при \(x > 0\).
- Замена переменной: если в неравенстве несколько раз встречается \(\lg x\), удобно обозначить \(t = \lg x\) и свести к алгебраическому неравенству.
- Разложение многочлена: для решения \(P(t) \ge 0\) нужно найти корни и применить метод интервалов.
1. Замена переменной \(t = \lg x\)
Пусть \(t = \lg x\). Тогда \(\lg^2 x = t^2\), \(\lg^3 x = t^3\), \(\lg^4 x = t^4\).
Неравенство принимает вид:
2. Разложение многочлена
Выносим общий множитель \(t\):
\[ t(t^3 — 4t^2 + 5t — 2) \ge 0. \]Кубический многочлен \(t^3 — 4t^2 + 5t — 2\):
- Проверяем \(t = 1\): \(1 — 4 + 5 — 2 = 0\) — корень.
- Делим на \(t — 1\) (схема Горнера):
Получаем \(t^2 — 3t + 2 = (t-1)(t-2)\).
Таким образом:
\[ t^3 — 4t^2 + 5t — 2 = (t-1)^2(t-2). \]Исходное неравенство:
3. Метод интервалов для переменной \(t\)
Нули функции: \(t = 0\), \(t = 1\) (кратность 2), \(t = 2\).
Множитель \((t-1)^2\) всегда неотрицателен и обращается в ноль только при \(t=1\), не меняя знак.
Знак произведения определяется знаками \(t\) и \((t-2)\).
| Интервал | Знак \(t\) | Знак \(t-2\) | Знак произведения |
|---|---|---|---|
| \((-\infty, 0)\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) |
| \((0, 1)\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \((1, 2)\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) |
| \((2, \infty)\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
В точках:
- \(t = 0\): произведение \(= 0\) — подходит (\(\ge 0\)).
- \(t = 1\): \((t-1)^2 = 0\) — произведение \(= 0\) — подходит.
- \(t = 2\): \(t-2 = 0\) — произведение \(= 0\) — подходит.
Решение для \(t\):
\[ t \in (-\infty,\;0] \;\cup\; \{1\} \;\cup\; [2,\;\infty). \]4. Обратная замена \(t = \lg x\)
Учитываем ОДЗ: \(x > 0\).
- \(t \le 0 \;\Rightarrow\; \lg x \le 0 \;\Rightarrow\; 0 < x \le 1\).
- \(t = 1 \;\Rightarrow\; \lg x = 1 \;\Rightarrow\; x = 10\).
- \(t \ge 2 \;\Rightarrow\; \lg x \ge 2 \;\Rightarrow\; x \ge 100\).
Объединяем полученные промежутки:
✅ Окончательный ответ
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = 1\): \(\lg 1 = 0\), левая часть \(= 0\) — верно.
- \(x = 10\): \(\lg 10 = 1\), подставляем в \(t(t-1)^2(t-2)\): \(1\cdot 0^2 \cdot (-1) = 0\) — верно.
- \(x = 100\): \(\lg 100 = 2\), \(2\cdot 1^2 \cdot 0 = 0\) — верно.
- \(x \in (0,1)\): например \(x=0.1\), \(\lg 0.1 = -1\), \((-1)(-2)^2(-3) = (-1)\cdot 4 \cdot (-3) = 12 > 0\) — верно.
- \(x > 100\): например \(x=1000\), \(\lg 1000 = 3\), \(3\cdot 2^2 \cdot 1 = 12 > 0\) — верно.
📊 Соответствие \(t\) и \(x\)
| \(t\) | \(x = 10^t\) | Входит в ответ |
|---|---|---|
| \((-\infty, 0]\) | \((0, 1]\) | ✅ да |
| \(\{1\}\) | \(\{10\}\) | ✅ да |
| \([2, \infty)\) | \([100, \infty)\) | ✅ да |
| \((0,1) \cup (1,2)\) | \((1,10) \cup (10,100)\) | ❌ нет |
🧠 Важное наблюдение:
Множитель \((t-1)^2\) всегда неотрицателен, поэтому его наличие не влияет на знак неравенства, а только добавляет изолированное решение \(t=1\) (что соответствует \(x=10\)).
🧩 План решения:
- Замена \(t = \lg x\) (приводим к многочлену).
- Разложение \(t^4 — 4t^3 + 5t^2 — 2t = t(t-1)^2(t-2)\).
- Метод интервалов для \(t\): \((-\infty,0] \cup \{1\} \cup [2,\infty)\).
- Обратная замена с учётом \(x>0\): \(0 < x \le 1\), \(x=10\), \(x \ge 100\).