\[
\frac{9^x — 3^{x+1} — 19}{3^x — 6} + \frac{9^{x+1} — 3^{x+4} + 2}{3^x — 9} \;\le\; 10 \cdot 3^x + 3
\]
📘 Ключевые свойства
- \(9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\)
- \(9^{x+1} = 9 \cdot 9^x = 9 \cdot 3^{2x}\)
- \(3^{x+1} = 3 \cdot 3^x\)
- \(3^{x+4} = 3^4 \cdot 3^x = 81 \cdot 3^x\)
- Замена \(t = 3^x > 0\)
1️⃣ Замена \(t = 3^x\)
\(t = 3^x > 0\):
\[ 9^x = t^2,\; 3^{x+1}=3t,\; 9^{x+1}=9t^2,\; 3^{x+4}=81t. \] \[ \frac{t^2 — 3t — 19}{t-6} + \frac{9t^2 — 81t + 2}{t-9} \;\le\; 10t + 3. \]2️⃣ Выделение целой части
Первая дробь: \(t^2 — 3t — 19 = (t-6)(t+3) — 1\) → \(t+3 — \frac{1}{t-6}\).
Вторая дробь: \(9t^2 — 81t + 2 = (t-9)(9t) + 2\) → \(9t + \frac{2}{t-9}\).
3️⃣ Сокращение
\[
\left(t+3 — \frac{1}{t-6}\right) + \left(9t + \frac{2}{t-9}\right) = 10t+3 -\frac{1}{t-6}+\frac{2}{t-9}
\]
Неравенство \(10t+3 -\frac{1}{t-6}+\frac{2}{t-9} \le 10t+3\) сводится к
\[ -\frac{1}{t-6} + \frac{2}{t-9} \le 0. \]4️⃣ Рациональное неравенство
\[
\frac{2}{t-9} — \frac{1}{t-6} \le 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{2(t-6)-(t-9)}{(t-9)(t-6)} \le 0
\]
\[
\frac{t-3}{(t-9)(t-6)} \le 0
\]
5️⃣ Метод интервалов (\(t>0\))
| Интервал | Знак дроби |
|---|---|
| \((0,3)\) | \(-\) |
| \((3,6)\) | \(+\) |
| \((6,9)\) | \(-\) |
| \((9,\infty)\) | \(+\) |
Решение: \(t \in (0, 3] \cup (6, 9)\).
6️⃣ Возврат к \(x\)
- \((0,3] \rightarrow 3^x \le 3 \Rightarrow x \le 1\)
- \((6,9) \rightarrow 6 < 3^x < 9 \Rightarrow \log_3 6 < x < 2\)
7️⃣ Окончательный ответ
\[
\boxed{(-\infty,\; 1] \;\cup\; (\log_3 6,\; 2)}
\]
📊 Соответствие интервалов
| \(t\) | \(x = \log_3 t\) | Ответ |
|---|---|---|
| \((0,3]\) | \(x \le 1\) | ✅ да |
| \((3,6]\) | \(1 < x \le \log_3 6\) | ❌ нет |
| \((6,9)\) | \(\log_3 6 < x < 2\) | ✅ да |
| \([9,\infty)\) | \(x \ge 2\) | ❌ нет |
🧠 Наблюдение: выделение целых частей свело неравенство к \(\frac{t-3}{(t-6)(t-9)} \le 0\).
🔍 Структура
- Замена \(t = 3^x\)
- Выделение целой части (деление)
- Сокращение \(10t+3\)
- \(\frac{2}{t-9} — \frac{1}{t-6} \le 0\)
- \(\frac{t-3}{(t-6)(t-9)} \le 0\)
- Интервалы: \((0,3]\cup(6,9)\)
- \(x \le 1\) или \(\log_3 6 < x < 2\)