📘 Основные свойства логарифмов (base \(a>0, a\neq 1\))
- \(\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c\) (логарифм произведения)
- \(\log_a\!\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a b — \log_a c\) (логарифм частного)
- \(\log_a(b^p) = p\log_a b\) (логарифм степени)
- \(c = \log_a(a^c)\) (представление числа в виде логарифма)
- Если основание \(a>1\), функция \(\log_a t\) возрастает, поэтому \(\log_a A \le \log_a B \Rightarrow A \le B\) (при \(A,B>0\)).
1️⃣ Область допустимых значений (ОДЗ)
Каждый аргумент логарифма должен быть положительным:
- \((x — 2)(x^2 + 9) > 0\)
- \(x^2 + x — 6 > 0\)
- \(x > 0\) (из \(-\log_3 x\) – сам \(\log_3 x\) существует)
Разберём по порядку:
- \(x^2+9 > 0\) всегда ⇒ первое условие равносильно \(x-2 > 0\) → \(x > 2\).
- \(x^2+x-6 = (x+3)(x-2) > 0\) ⇒ \(x \in (-\infty,-3) \cup (2,\infty)\).
- \(x > 0\).
✅ Пересечение: \(x > 2\) (это и есть итоговое ОДЗ).
2️⃣ Преобразование правой части (свойства логарифмов)
Заметим, что \(2 = \log_3 9\) (так как \(3^2 = 9\)). Подставим:
\[ 2 + \log_3(x^2+x-6) — \log_3 x = \log_3 9 + \log_3(x^2+x-6) — \log_3 x \]Складываем первые два логарифма (сумма = произведение):
\[ \log_3\bigl(9(x^2+x-6)\bigr) — \log_3 x \]Разность логарифмов = логарифм частного:
\[ \log_3\left(\frac{9(x^2+x-6)}{x}\right) \]Таким образом, исходное неравенство превращается в:
3️⃣ Избавляемся от логарифмов (потенцирование)
Основание \(3 > 1\), значит логарифмическая функция возрастает. Поэтому знак неравенства сохраняется:
\[ (x-2)(x^2+9) \;\le\; \frac{9(x^2+x-6)}{x}, \quad \text{при } x>2. \]Умножаем обе части на \(x > 0\) (знак не меняется):
\[ x(x-2)(x^2+9) \;\le\; 9(x^2+x-6). \]4️⃣ Приведение к многочлену и разложение
Переносим всё влево и раскрываем скобки:
\[ x(x-2)(x^2+9) — 9(x^2+x-6) \le 0. \]Вычислим произведение \(x(x-2)(x^2+9)\):
\[ \begin{aligned} x(x-2) &= x^2 — 2x,\\ (x^2-2x)(x^2+9) &= x^4 + 9x^2 — 2x^3 — 18x. \end{aligned} \]Вычитаем \(9(x^2+x-6) = 9x^2 + 9x — 54\):
\[ x^4 — 2x^3 + 9x^2 — 18x — 9x^2 — 9x + 54 \le 0, \] \[ x^4 — 2x^3 — 27x + 54 \le 0. \]5️⃣ Группировка и разложение на множители
Сгруппируем удобным образом:
\[ (x^4 — 2x^3) + (-27x + 54) = x^3(x-2) — 27(x-2) = (x-2)(x^3 — 27). \]Далее, \(x^3 — 27 = (x-3)(x^2 + 3x + 9)\). Итоговое разложение:
Анализ множителей:
- \(x^2+3x+9\): дискриминант \(D = 9 — 36 = -27 < 0\), старший коэффициент \(>0\) ⇒ этот трёхчлен всегда положителен (при любых \(x\)).
- Значит, знак всего произведения определяется только \((x-2)(x-3)\).
6️⃣ Неравенство \((x-2)(x-3) \le 0\)
Корни: \(x = 2\) и \(x = 3\). Ветви параболы вверх, поэтому неравенство \(\le 0\) выполняется между корнями:
\[ [2,\; 3]. \]7️⃣ Согласование с ОДЗ и граничные точки
ОДЗ: \(x > 2\).
Из отрезка \([2,3]\) исключаем \(x=2\) (не входит в ОДЗ). Точка \(x=3\):
- При \(x=3\): \((x-2)(x-3)=0\) ⇒ произведение \((x-2)(x-3)(x^2+3x+9) = 0\), что удовлетворяет \(\le 0\).
- Проверка исходного неравенства при \(x=3\) (обязательно): \[ \log_3((1)(18)) = \log_3 18,\quad 2+\log_3(9+3-6)-\log_3 3 = 2+\log_3 6 -1 = 1+\log_3 6 = \log_3 3 + \log_3 6 = \log_3 18. \] Равенство выполняется — точка входит.
Таким образом, с учётом ОДЗ получаем:
\[ (2,\; 3]. \]✅ Окончательный ответ
с учётом области допустимых значений \(x > 2\)
📊 Проверка граничных точек
| Точка | Принадлежит ОДЗ | Знак левой части после упрощения | Входит в ответ? |
|---|---|---|---|
| \(x = 2\) | ❌ нет (\(x>2\)) | — | ❌ нет |
| \(x = 3\) | ✅ да | \((x-2)(x-3) = 0\) ⇒ \(0 \le 0\) верно | ✅ да |
| \(x \in (2,3)\) | ✅ да | \((x-2)>0,\;(x-3)<0\) ⇒ произведение отрицательно | ✅ да |
🧠 Структура решения
- ОДЗ: \(x > 2\).
- Преобразование правой части: \(2 = \log_3 9\), собрали в один логарифм \(\log_3\frac{9(x^2+x-6)}{x}\).
- Потенцирование (основание >1, знак сохраняется).
- Приведение к многочлену \(x^4-2x^3-27x+54 \le 0\).
- Группировка и разложение: \((x-2)(x-3)(x^2+3x+9) \le 0\).
- Учёт положительности \(x^2+3x+9\) → остаётся \((x-2)(x-3) \le 0\) ⇒ \(x \in [2,3]\).
- Наложение ОДЗ \(x>2\) → \((2,3]\).
📌 Важно: Так как основание \(3 > 1\), функция \(y = \log_3 t\) строго возрастает. Поэтому неравенство \(\log_3 A \le \log_3 B\) равносильно \(A \le B\) при \(A,B > 0\). Именно этот факт позволил нам убрать логарифмы.