📘 Необходимые сведения
- \(4^{x-2} = \frac{4^x}{4^2} = \frac{4^x}{16}\).
- \(16^x = (4^2)^x = 4^{2x} = (4^x)^2\).
- Замена \(t = 4^x > 0\) сводит показательное неравенство к рациональному.
1. Упрощаем выражение и вводим замену \(t = 4^x\)
Заметим:
\[ 4^{x-2} = \frac{4^x}{16} = \frac{t}{16},\quad 2 \cdot 4^{x-2} = \frac{t}{8}. \]Также \(16^x = t^2\).
Подставляем в неравенство:
\[ \frac{\frac{t}{8}}{\frac{t}{8} — 1} \le \frac{7}{t — 1} + \frac{40}{t^2 — 9t + 8},\quad t > 0,\ t \neq 1,\ t \neq 8. \]Упростим левую часть:
\[ \frac{\frac{t}{8}}{\frac{t-8}{8}} = \frac{t}{t-8}. \]Заметим, что \(t^2 — 9t + 8 = (t-1)(t-8)\).
Неравенство принимает вид:
\[ \frac{t}{t-8} \le \frac{7}{t-1} + \frac{40}{(t-1)(t-8)}. \]2. Общий знаменатель для правой части
Общий знаменатель \((t-1)(t-8)\):
\[ \frac{7(t-8) + 40}{(t-1)(t-8)} = \frac{7t — 56 + 40}{(t-1)(t-8)} = \frac{7t — 16}{(t-1)(t-8)}. \]Неравенство:
\[ \frac{t}{t-8} \le \frac{7t — 16}{(t-1)(t-8)}. \]3. Переносим всё в левую часть
Общий знаменатель \((t-1)(t-8)\):
\[ \frac{t(t-1) — (7t — 16)}{(t-1)(t-8)} \le 0. \]Числитель:
\[ t^2 — t — 7t + 16 = t^2 — 8t + 16 = (t-4)^2. \]Получаем:
4. Исследуем знак дроби
Числитель \((t-4)^2 \ge 0\) для всех \(t\), равен 0 при \(t = 4\).
Знаменатель \((t-1)(t-8)\) меняет знак в точках \(t = 1\) и \(t = 8\).
Дробь \(\le 0\) возможна в двух случаях:
- числитель = 0 (тогда дробь = 0) — это \(t = 4\);
- числитель > 0, а знаменатель < 0 — тогда дробь отрицательна.
Знаменатель < 0 при \(1 < t < 8\). На этом интервале числитель положителен (кроме \(t=4\), где он 0).
Таким образом, решение для \(t\):
\[ t \in (1, 8). \](Точка \(t = 4\) уже включена в интервал.)
5. Возвращаемся к \(x\) (\(t = 4^x\))
\(1 < 4^x < 8\).
Логарифмируем по основанию 4 (функция возрастает):
\[ \log_4 1 < x < \log_4 8. \]\(\log_4 1 = 0\), \(\log_4 8 = \log_4 (2^3) = 3 \log_4 2 = 3 \cdot \frac12 = \frac32\).
Итак:
\[ 0 < x < 1.5. \]✅ Окончательный ответ
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = 0\): \(4^0 = 1\) — знаменатель \(t-1 = 0\) в правой части, не входит.
- \(x = 1.5\): \(4^{1.5} = 4^{3/2} = 8\) — знаменатель \(t-8 = 0\) в левой части, не входит.
- \(x = 1\): \(4^1 = 4\), подставляем в исходное: левая часть \(4/(4-8) = 4/(-4) = -1\); правая часть \(7/(4-1) + 40/(16-36+8) = 7/3 + 40/(-12) = 7/3 — 10/3 = -1\) — равенство, верно. Но \(x=1\) входит в интервал \((0,1.5)\).
📊 Знак дроби \(\frac{(t-4)^2}{(t-1)(t-8)}\)
| Интервал | \((t-4)^2\) | \((t-1)(t-8)\) | Знак дроби |
|---|---|---|---|
| \((0, 1)\) | + | + | + |
| \((1, 4)\) | + | – | – |
| \(t = 4\) | 0 | – | 0 |
| \((4, 8)\) | + | – | – |
| \((8, \infty)\) | + | + | + |
🧩 План решения:
- Замена \(t = 4^x > 0\) и упрощение \(2 \cdot 4^{x-2} = t/8\).
- Приведение правой части к общему знаменателю \((t-1)(t-8)\).
- Перенос влево и упрощение числителя до \((t-4)^2\).
- Анализ знака дроби \(\frac{(t-4)^2}{(t-1)(t-8)} \le 0\).
- Получение интервала \(t \in (1, 8)\).
- Возврат к \(x\) через логарифмирование: \(0 < x < 1.5\).