📘 Необходимая теория
1. Свойства логарифмов (основание \(a>0, a\ne 1\)):
- \(\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c\)
- \(\log_a(b^p) = p\log_a b\)
- \(\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b\) (в частности, \(\log_{1/a} b = -\log_a b\))
2. Переход к новому основанию: \(\log_{0{,}2} t = \log_{5^{-1}} t = -\log_5 t\).
3. Квадрат выражения всегда неотрицателен: \((\ldots)^2 \ge 0\). Равенство нулю — когда выражение в скобках равно нулю.
4. Правило знаков для произведения: \(A \cdot B \le 0\) означает, что \(A\) и \(B\) имеют разные знаки (или один из них равен нулю).
5. ОДЗ логарифмов: аргумент строго положителен.
1️⃣ Область допустимых значений (ОДЗ)
- \(\log_{0{,}2}(x+2) \;\Rightarrow\; x+2 > 0 \;\Rightarrow\; x > -2\).
- \(\log_5(x^2+4x+4) \;\Rightarrow\; x^2+4x+4 > 0\). Заметим: \(x^2+4x+4 = (x+2)^2\). Квадрат положителен при всех \(x \ne -2\). Первое условие уже исключило \(x=-2\), значит, это ограничение не добавляет нового.
- \(\log_5(x+1) \;\Rightarrow\; x+1 > 0 \;\Rightarrow\; x > -1\).
✅ Итоговое ОДЗ: \(x \in (-1, \infty)\).
2️⃣ Упрощаем выражение (работа с основаниями)
Замена основания \(0{,}2 = 5^{-1}\):
\[ \log_{0{,}2}(x+2) = \log_{5^{-1}}(x+2) = -\log_5(x+2). \]Тогда квадрат:
\[ \log_{0{,}2}^2(x+2) = (-\log_5(x+2))^2 = \log_5^2(x+2). \]Преобразуем второй логарифм:
\[ x^2+4x+4 = (x+2)^2 \quad\Rightarrow\quad \log_5(x^2+4x+4) = \log_5((x+2)^2) = 2\log_5(x+2). \]Подставляем в исходное выражение:
\[ \Bigl(\log_5^2(x+2) — 2\log_5(x+2) + 1\Bigr) \cdot \log_5(x+1) \le 0. \]3️⃣ Выделяем полный квадрат
Выражение в первых скобках — это квадрат разности:
\[ \log_5^2(x+2) — 2\log_5(x+2) + 1 = \bigl(\log_5(x+2) — 1\bigr)^2. \]Неравенство становится таким:
4️⃣ Анализ произведения (метод знаков)
🔍 Ключевое наблюдение: \(\bigl(\log_5(x+2)-1\bigr)^2 \ge 0\) для всех \(x\) из ОДЗ. Ноль это выражение принимает только когда
\[ \log_5(x+2)-1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \log_5(x+2)=1 \quad\Longrightarrow\quad x+2 = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = 3. \]Таким образом, первый множитель всегда неотрицателен и строго положителен везде, кроме \(x=3\).
Для выполнения неравенства \(\,(\text{неотрицательное}) \times (\text{второй множитель}) \le 0\,\) возможны две ситуации:
- Ситуация А: первый множитель равен нулю → тогда произведение равно \(0\) (подходит). Это даёт точку \(x=3\).
- Ситуация Б: первый множитель положителен (\(x \ne 3\)) → тогда, чтобы произведение было \(\le 0\), второй множитель должен быть \(\le 0\) (отрицательным или нулём).
5️⃣ Решаем \(\log_5(x+1) \le 0\) (с учётом ОДЗ)
(Напоминаем: аргумент логарифма строго положителен, поэтому \(x+1 > 0\) уже заложено в ОДЗ.)
Решаем двойное неравенство:
\[ 0 < x+1 \le 1 \quad\Longrightarrow\quad -1 < x \le 0. \]Итак, из условия \(\log_5(x+1) \le 0\) получаем интервал \((-1, 0]\).
6️⃣ Объединение решений
- Из ситуации Б (первый множитель положителен, второй \(\le 0\)) получаем \(x \in (-1, 0]\).
- Из ситуации А (первый множитель равен нулю) получаем точку \(x = 3\).
Проверим, не пересекаются ли эти множества: точка \(3\) не входит в \((-1,0]\), поэтому объединяем.
📌 Проверка граничных точек
| Точка | Значение первого множителя | \(\log_5(x+1)\) | Произведение | Соответствие \(\le 0\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x = -1^+\) (не входит) | — | — | — | нет (вне ОДЗ) |
| \(x = 0\) | \((\log_5 2-1)^2 > 0\) | \(\log_5 1 = 0\) | \(0\) | ✅ да |
| \(x = 3\) | \((\log_5 5-1)^2 = 0\) | \(\log_5 4 > 0\) | \(0\) | ✅ да |
✅ Окончательный ответ
с учётом области допустимых значений \(x > -1\)
🧠 Краткий план решения
- Находим ОДЗ: \(x > -1\).
- Заменяем \(\log_{0{,}2}\) на \(-\log_5\), упрощаем \(\log_5((x+2)^2) = 2\log_5(x+2)\).
- Замечаем полный квадрат \((\log_5(x+2)-1)^2\).
- Анализируем знак: первый множитель всегда \(\ge 0\), ноль только при \(x=3\).
- Если \(x \ne 3\) — требуется \(\log_5(x+1) \le 0 \Rightarrow -1 < x \le 0\).
- Добавляем точку \(x=3\) (обнуляет первый множитель).
- Записываем ответ: \((-1,0] \cup \{3\}\).
💡 Важный теоретический факт: \((\log_5(x+2)-1)^2 \ge 0\) всегда. Поэтому знак произведения полностью определяется знаком \(\log_5(x+1)\), кроме единственной точки, где первый множитель зануляется. В этой точке произведение равно \(0\) независимо от второго сомножителя — это даёт изолированное решение \(x=3\).