Условие: Решите неравенство
1. Теоретическая основа
Прежде чем приступать к решению, вспомним ключевые свойства логарифмов, которые нам понадобятся.
- Логарифм произведения: \(\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c\).
- Логарифм степени: \(\log_a(b^p) = p \log_a b\).
- Логарифм основания: \(\log_a a = 1\).
- Переход к показательной форме: \(\log_a x = t \;\Longleftrightarrow\; x = a^t\).
- Аргумент логарифма должен быть строго положительным.
- Знаменатель дроби не может равняться нулю.
2. Находим область допустимых значений (ОДЗ)
В неравенстве присутствуют \(\log_4 x\) и \(\log_4(64x)\). Записываем условия:
- \(x > 0\) (из \(\log_4 x\)).
- \(64x > 0\) — так как \(64 > 0\), это снова даёт \(x > 0\).
- Знаменатель \(\log^2_4 x + \log_4 x^3 \neq 0\) — это условие проверим позже, после упрощений.
Предварительное ОДЗ: \(x > 0\).
3. Упрощение выражения (замена переменной)
Применяем свойство логарифма произведения:
\[ \log_4(64x) = \log_4 64 + \log_4 x. \]Так как \(64 = 4^3\), то \(\log_4 64 = \log_4(4^3) = 3\log_4 4 = 3 \cdot 1 = 3\).
Следовательно, числитель:
\[ \log_4(64x) — 2 = (3 + \log_4 x) — 2 = \log_4 x + 1. \]Используем свойство логарифма степени:
\[ \log_4 x^3 = 3\log_4 x. \]Обозначим \(t = \log_4 x\). Тогда знаменатель принимает вид:
\[ \log^2_4 x + \log_4 x^3 = t^2 + 3t. \]После подстановки получаем рациональное неравенство относительно \(t\):
4. Решение неравенства для переменной \(t\)
Переносим \(-1\) в левую часть и приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{t + 1}{t^2 + 3t} + 1 \geq 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{t + 1 + t^2 + 3t}{t^2 + 3t} \geq 0 \;\Longleftrightarrow\; \frac{t^2 + 4t + 1}{t^2 + 3t} \geq 0. \]4.1 Разложение на множители
- Числитель: \(t^2 + 4t + 1 = 0\). Дискриминант \(D = 16 — 4 = 12\). Корни: \[ t_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}. \] Таким образом, \[ t^2 + 4t + 1 = (t + 2 + \sqrt{3})(t + 2 — \sqrt{3}). \]
- Знаменатель: \(t^2 + 3t = t(t + 3)\).
Неравенство принимает вид:
⚠️ Знаменатель не должен быть равен нулю: \(t \neq 0,\; t \neq -3\).
4.2 Метод интервалов
Отмечаем на числовой прямой точки (в порядке возрастания):
\[ t_1 = -2 — \sqrt{3} \approx -3.732,\quad t_2 = -3,\quad t_3 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.268,\quad t_4 = 0. \]| Интервал | Знак дроби |
|---|---|
| \((- \infty, -2 — \sqrt{3})\) | \(+\) |
| \((-2 — \sqrt{3}, -3)\) | \(-\) |
| \((-3, -2 + \sqrt{3})\) | \(+\) |
| \((-2 + \sqrt{3}, 0)\) | \(-\) |
| \((0, \infty)\) | \(+\) |
Неравенство нестрогое (\(\geq 0\)), поэтому включаем точки, где числитель равен нулю (\(t = -2 \pm \sqrt{3}\)), и исключаем точки \(t = -3\) и \(t = 0\) (знаменатель равен нулю).
Решение для \(t\):
\[ t \in (-\infty,\; -2 — \sqrt{3}] \;\cup\; (-3,\; -2 + \sqrt{3}] \;\cup\; (0,\; \infty). \]5. Возврат к переменной \(x\)
Вспоминаем, что \(t = \log_4 x\). Так как основание \(4 > 1\), функция \(x = 4^t\) строго возрастает. Это значит, что знаки интервалов сохраняются, и мы просто применяем показательную функцию к границам.
- Для \(t \in (-\infty,\; -2 — \sqrt{3}]\): \(x \in (0,\; 4^{-2 — \sqrt{3}}]\).
- Для \(t \in (-3,\; -2 + \sqrt{3}]\): \(x \in (4^{-3},\; 4^{-2 + \sqrt{3}}] = \left(\frac{1}{64},\; 4^{\sqrt{3}-2}\right]\).
- Для \(t \in (0,\; \infty)\): \(x \in (4^0,\; \infty) = (1,\; \infty)\).
Учтём, что \(4^{-2-\sqrt{3}} = \dfrac{1}{4^{2+\sqrt{3}}} = \dfrac{1}{16 \cdot 4^{\sqrt{3}}}\), а \(4^{\sqrt{3}-2} = \dfrac{4^{\sqrt{3}}}{16}\).
6. Проверка условий ОДЗ и знаменателя
Мы уже исключили точки, где знаменатель обращается в ноль (\(t = -3\) и \(t = 0\)), что соответствует \(x = \frac{1}{64}\) и \(x = 1\). В наших интервалах эти точки не включены (интервалы открыты около них). Условие \(x > 0\) автоматически выполнено для всех полученных промежутков.
7. Окончательный ответ
Краткое резюме
- Сначала нашли ОДЗ: \(x > 0\).
- Упростили логарифмы с помощью свойств \(\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c\) и \(\log_a(b^p) = p\log_a b\).
- Ввели замену \(t = \log_4 x\), свели неравенство к рациональному.
- Решили методом интервалов, учитывая, что знаменатель не равен нулю.
- Вернулись к \(x\) через показательную функцию (строго возрастающую).
- Записали ответ с учётом выколотых точек.