ЕГЭ 15-в16. Показательное неравенство

Пусть \(t = 2^x > 0\). Тогда:

\[ \begin{aligned} 2^x + 8 &= t + 8, \\ 2^x — 8 &= t — 8, \\ 2^{x+4} &= 16t, \\ 4^x &= t^2, \\ 4^x — 64 &= t^2 — 64 = (t-8)(t+8). \end{aligned} \]

Неравенство принимает вид:

\[ \frac{t+8}{t-8} + \frac{t-8}{t+8} \ge \frac{16t + 96}{(t-8)(t+8)},\quad t>0,\ t\neq 8. \]

Общий знаменатель \((t-8)(t+8)\):

\[ \frac{(t+8)^2 + (t-8)^2}{(t-8)(t+8)}. \]

Вычисляем числитель:

\[ (t+8)^2 = t^2 + 16t + 64,\quad (t-8)^2 = t^2 — 16t + 64. \] \[ (t+8)^2 + (t-8)^2 = 2t^2 + 128 = 2(t^2 + 64). \]

Левая часть равна:

\[ \frac{2(t^2 + 64)}{(t-8)(t+8)}. \]

\[ \frac{2(t^2 + 64)}{(t-8)(t+8)} — \frac{16t + 96}{(t-8)(t+8)} \ge 0. \] \[ \frac{2(t^2 + 64) — (16t + 96)}{(t-8)(t+8)} \ge 0. \]

Упрощаем числитель:

\[ 2t^2 + 128 — 16t — 96 = 2t^2 — 16t + 32 = 2(t^2 — 8t + 16) = 2(t-4)^2. \]

Получаем:

Множитель \(2 > 0\) можно отбросить.

Числитель \((t-4)^2 \ge 0\) для всех \(t\), равен 0 при \(t = 4\).

Знаменатель \((t-8)(t+8)\):

• При \(0 < t < 8\): \(t-8 < 0,\ t+8 > 0\) ⇒ знаменатель \(< 0\).
• При \(t > 8\): \(t-8 > 0,\ t+8 > 0\) ⇒ знаменатель \(> 0\).

Дробь \(\ge 0\):

• Если знаменатель \(> 0\) (при \(t > 8\)), то числитель \(\ge 0\) ⇒ дробь \(\ge 0\).
• Если знаменатель \(< 0\) (при \(0 < t < 8\)), то дробь \(\ge 0\) только когда числитель = 0, т.е. \(t = 4\).

Итак, решение для \(t\):

\[ t \in (8, \infty) \cup \{4\}. \]

• \(t = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow x = 2\).
• \(t > 8 \Rightarrow 2^x > 8 \Rightarrow x > 3\).