📘 Необходимые сведения
- \(9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\).
- \(3^{1-x} = 3 \cdot 3^{-x} = \frac{3}{3^x}\).
- \(9^{x-1} = 9^x \cdot 9^{-1} = \frac{9^x}{9} = \frac{3^{2x}}{9}\).
- Замена \(t = 3^x > 0\) сводит показательное неравенство к рациональному.
1. Выражаем всё через \(3^x\)
Запишем каждое слагаемое:
\[ \begin{aligned} 9^x &= 3^{2x}, \\ 3^x &= 3^x, \\ 3^{1-x} &= \frac{3}{3^x}, \\ \frac{1}{9^{x-1}} &= \frac{9}{3^{2x}}. \end{aligned} \]Неравенство принимает вид:
\[ 3^{2x} — 3^x — \frac{3}{3^x} + \frac{9}{3^{2x}} \le 6. \]2. Замена \(t = 3^x\)
Пусть \(t = 3^x > 0\). Тогда \(3^{2x} = t^2\), \(\frac{1}{3^x} = \frac{1}{t}\), \(\frac{1}{3^{2x}} = \frac{1}{t^2}\).
Подставляем:
\[ t^2 — t — \frac{3}{t} + \frac{9}{t^2} \le 6. \]3. Умножаем на \(t^2 > 0\)
Так как \(t^2 > 0\), умножение не меняет знак неравенства:
\[ t^4 — t^3 — 3t + 9 \le 6t^2. \]Переносим всё влево:
\[ t^4 — t^3 — 6t^2 — 3t + 9 \le 0. \]4. Разложение многочлена
Проверим целые корни среди делителей 9: \(t = 1\) и \(t = 3\) обращают многочлен в ноль.
Делим \(t^4 — t^3 — 6t^2 — 3t + 9\) на \((t-1)(t-3) = t^2 — 4t + 3\).
Выполнив деление, получаем:
\[ t^4 — t^3 — 6t^2 — 3t + 9 = (t^2 — 4t + 3)(t^2 + 3t + 3). \]Проверим: \(t^2 + 3t + 3\) имеет отрицательный дискриминант (\(9 — 12 = -3\)), поэтому всегда положителен.
5. Знак левой части
Так как \(t^2 + 3t + 3 > 0\) для всех \(t\), знак произведения определяется знаком \(t^2 — 4t + 3 = (t-1)(t-3)\).
Неравенство \(t^4 — t^3 — 6t^2 — 3t + 9 \le 0\) равносильно:
\[ (t-1)(t-3) \le 0. \]Решаем:
\[ 1 \le t \le 3. \]6. Возвращаемся к \(x\) (\(t = 3^x\))
\(1 \le 3^x \le 3\).
Логарифмируем по основанию 3 (функция возрастает):
\[ \log_3 1 \le x \le \log_3 3. \] \[ 0 \le x \le 1. \]✅ Окончательный ответ
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = 0\): \(3^0 = 1\), левая часть \(1 — 1 — 3 + 9 = 6\) — верно.
- \(x = 1\): \(3^1 = 3\), левая часть \(9 — 3 — 1 + 1 = 6\) — верно.
- \(x = 0.5\): \(3^{0.5} = \sqrt{3} \approx 1.732\), левая часть \(\approx 3 — 1.732 — 1.732 + 3 \approx 2.536\) — меньше 6, верно.
📊 Знак \((t-1)(t-3)\)
| Интервал | \((t-1)(t-3)\) | Соответствие \(x\) |
|---|---|---|
| \((0, 1)\) | + | ❌ нет |
| \(t = 1\) | 0 | \(x = 0\) |
| \((1, 3)\) | – | \(0 < x < 1\) |
| \(t = 3\) | 0 | \(x = 1\) |
| \((3, \infty)\) | + | ❌ нет |
🧩 План решения:
- Выразить все члены через \(3^x\).
- Замена \(t = 3^x > 0\).
- Привести к общему знаменателю \(t^2\) и получить многочлен 4-й степени.
- Разложить на множители \((t-1)(t-3)(t^2+3t+3)\).
- Учесть, что \(t^2+3t+3 > 0\) всегда.
- Решить \((t-1)(t-3) \le 0\) ⇒ \(1 \le t \le 3\).
- Вернуться к \(x\): \(0 \le x \le 1\).