📘 Теоретическая база
- Функция \(3^y\) строго возрастает (основание > 1).
- Функция \(\log_{\frac12} t\) строго убывает (основание \(0 < \frac12 < 1\)).
- Для убывающей функции \(\log_{\frac12} A \ge 0 \Leftrightarrow A \le 1\).
- Произведение двух сомножителей \(\ge 0\) означает, что они имеют одинаковые знаки или один из них равен нулю.
1. Область допустимых значений
Логарифм определён при положительном аргументе:
\[ x^2 — 4x + 5 > 0. \]Дискриминант \(D = 16 — 20 = -4 < 0\), ветви параболы вверх, значит неравенство выполняется для всех \(x\).
✅ ОДЗ: \(x \in \mathbb{R}\).
2. Знак первого множителя \(A = 3^{4x-x^2-3} — 1\)
Так как \(3^y\) возрастает:
- \(A > 0\) при \(4x — x^2 — 3 > 0\).
- \(A = 0\) при \(4x — x^2 — 3 = 0\).
- \(A < 0\) при \(4x - x^2 - 3 < 0\).
Решаем неравенство \( -x^2 + 4x — 3 > 0\) (умножаем на \(-1\), меняем знак):
\[ x^2 — 4x + 3 < 0. \]Корни \(x^2 — 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0\): \(x = 1,\ x = 3\). Ветви вверх, поэтому:
\[ x^2 — 4x + 3 < 0 \ \text{при}\ 1 < x < 3. \]Таким образом:
- \(A > 0\) при \(x \in (1, 3)\)
- \(A = 0\) при \(x = 1\) и \(x = 3\)
- \(A < 0\) при \(x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)\)
3. Знак второго множителя \(B = \log_{\frac12}(x^2 — 4x + 5)\)
Основание \(\frac12 \in (0,1)\), функция убывает. Поэтому:
\[ \log_{\frac12} t \ge 0 \ \Leftrightarrow\ t \le 1, \] \[ \log_{\frac12} t \le 0 \ \Leftrightarrow\ t \ge 1. \]В нашем случае \(t = x^2 — 4x + 5\).
Найдём, когда \(t \le 1\):
\[ x^2 — 4x + 5 \le 1 \ \Rightarrow\ x^2 — 4x + 4 \le 0 \ \Rightarrow\ (x-2)^2 \le 0. \]Единственное решение: \(x = 2\). При \(x = 2\): \(t = 1\), \(\log_{\frac12} 1 = 0\).
При всех остальных \(x\): \((x-2)^2 > 0 \Rightarrow t > 1 \Rightarrow \log_{\frac12} t < 0\).
Итак:
- \(B = 0\) при \(x = 2\)
- \(B < 0\) при \(x \neq 2\)
4. Знак произведения \(A \cdot B\)
Точки, где меняется знак: \(x = 1,\ 2,\ 3\).
| Интервал | \(A\) | \(B\) | \(A \cdot B\) |
|---|---|---|---|
| \((-\infty, 1)\) | – | – | + |
| \(x = 1\) | 0 | – | 0 |
| \((1, 2)\) | + | – | – |
| \(x = 2\) | + | 0 | 0 |
| \((2, 3)\) | + | – | – |
| \(x = 3\) | 0 | – | 0 |
| \((3, \infty)\) | – | – | + |
Нам нужно \(A \cdot B \ge 0\):
- Интервалы с плюсом: \((-\infty, 1)\) и \((3, \infty)\).
- Точки, где произведение равно нулю: \(x = 1,\ 2,\ 3\).
Объединяем:
\[ (-\infty, 1] \cup \{2\} \cup [3, \infty). \]✅ Окончательный ответ
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = 1\): \(3^{4-1-3} — 1 = 3^0 — 1 = 0\), произведение = 0 — верно.
- \(x = 2\): \(A = 3^{8-4-3} — 1 = 3^{1} — 1 = 2\), \(B = \log_{\frac12}(1) = 0\), произведение = 0 — верно.
- \(x = 3\): \(3^{12-9-3} — 1 = 3^0 — 1 = 0\), произведение = 0 — верно.
- \(x = 0\): \(A = 3^{-3} — 1 < 0\), \(B < 0\), произведение > 0 — верно.
- \(x = 4\): \(A = 3^{-3} — 1 < 0\), \(B < 0\), произведение > 0 — верно.
🧩 План решения:
- ОДЗ: \(x \in \mathbb{R}\).
- Исследовать знак \(A = 3^{4x-x^2-3} — 1\): положителен при \(1 < x < 3\), отрицателен вне, ноль при \(x=1,3\).
- Исследовать знак \(B = \log_{\frac12}(x^2-4x+5)\): отрицателен при \(x \neq 2\), ноль при \(x=2\).
- Составить таблицу знаков произведения.
- Выбрать интервалы и точки, где произведение \(\ge 0\).