\[
27 \cdot 45^x — 27^{x+1} — 12 \cdot 15^x + 12 \cdot 9^x + 5^x — 3^x \le 0
\]
📘 Свойства степеней (напоминание)
- \((ab)^x = a^x b^x\)
- \((a^n)^x = a^{nx}\)
- \(a^{x+y} = a^x \cdot a^y\)
В данном случае полезно представить все числа в виде произведений степеней \(3\) и \(5\):
\[ 45 = 3^2 \cdot 5,\quad 27 = 3^3,\quad 15 = 3 \cdot 5,\quad 9 = 3^2. \]1. Приведение к степеням 3 и 5
Заменяем:
\[ \begin{aligned} 45^x &= (3^2 \cdot 5)^x = 3^{2x} \cdot 5^x,\\ 27^{x+1} &= (3^3)^{x+1} = 3^{3x+3} = 27 \cdot 3^{3x},\\ 15^x &= (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x,\\ 9^x &= (3^2)^x = 3^{2x}. \end{aligned} \]Подставляем в неравенство:
\[ 27 \cdot 3^{2x} \cdot 5^x — 27 \cdot 3^{3x} — 12 \cdot 3^x \cdot 5^x + 12 \cdot 3^{2x} + 5^x — 3^x \le 0. \]2. Группировка слагаемых
Собираем члены с \(5^x\) и без \(5^x\):
\[ \underbrace{27 \cdot 3^{2x} \cdot 5^x — 12 \cdot 3^x \cdot 5^x + 5^x}_{5^x \left(27 \cdot 3^{2x} — 12 \cdot 3^x + 1\right)} \;-\; 27 \cdot 3^{3x} + 12 \cdot 3^{2x} — 3^x \le 0. \]3. Замена \(a = 3^x,\; b = 5^x\)
Пусть \(a = 3^x > 0\), \(b = 5^x > 0\). Тогда \(3^{2x} = a^2\), \(3^{3x} = a^3\).
Неравенство превращается в:
\[ b(27a^2 — 12a + 1) — 27a^3 + 12a^2 — a \le 0. \]4. Выделение \((b — a)\)
Перегруппируем:
\[ (27a^2 b — 27a^3) + (-12a b + 12a^2) + (b — a) \le 0. \]Выносим общее:
\[ 27a^2(b — a) — 12a(b — a) + (b — a) \le 0. \]Факторизуем:
\[ (b — a)(27a^2 — 12a + 1) \le 0. \]5. Возвращаемся к переменной \(x\)
Так как \(b = 5^x\), \(a = 3^x\), получаем:
\[ (5^x — 3^x)\bigl(27 \cdot 3^{2x} — 12 \cdot 3^x + 1\bigr) \le 0. \]6. Анализ знаков множителей
6.1 Первый множитель: \(5^x — 3^x\)
- При \(x = 0\): \(1 — 1 = 0\)
- При \(x > 0\): \(5^x > 3^x\) ⇒ \(5^x — 3^x > 0\)
- При \(x < 0\): \(5^x < 3^x\) ⇒ \(5^x - 3^x < 0\)
6.2 Второй множитель: \(27 \cdot 3^{2x} — 12 \cdot 3^x + 1\)
Замена \(t = 3^x > 0\):
\[ 27t^2 — 12t + 1 = 0. \]Дискриминант \(D = 144 — 108 = 36\), корни:
\[ t = \frac{12 \pm 6}{54} = \frac{1}{3},\; \frac{1}{9}. \]Так как старший коэффициент \(27 > 0\), то:
- \(27t^2 — 12t + 1 > 0\) при \(t < 1/9\) и \(t > 1/3\)
- \(< 0\) при \(1/9 < t < 1/3\)
- \(= 0\) при \(t = 1/9, 1/3\)
Переводим в \(x\) (помним \(t = 3^x\)):
- \(t < 1/9 \Rightarrow 3^x < 1/9 \Rightarrow x < -2\)
- \(t > 1/3 \Rightarrow 3^x > 1/3 \Rightarrow x > -1\)
- \(1/9 < t < 1/3 \Rightarrow -2 < x < -1\)
- \(t = 1/9 \Rightarrow x = -2\)
- \(t = 1/3 \Rightarrow x = -1\)
Итак, второй множитель:
- \(>0\) при \(x \in (-\infty, -2) \cup (-1, \infty)\)
- \(<0\) при \(x \in (-2, -1)\)
- \(=0\) при \(x = -2, -1\)
7. Таблица знаков произведения
| Интервал | \(5^x — 3^x\) | \(27\cdot3^{2x} — 12\cdot3^x + 1\) | Произведение |
|---|---|---|---|
| \((-\infty, -2)\) | – | + | – |
| \(x = -2\) | – | 0 | 0 |
| \((-2, -1)\) | – | – | + |
| \(x = -1\) | – | 0 | 0 |
| \((-1, 0)\) | – | + | – |
| \(x = 0\) | 0 | + | 0 |
| \((0, \infty)\) | + | + | + |
Неравенство \(\le 0\) выполняется на интервалах со знаком минус и в точках, где произведение равно нулю.
8. Объединяем решение
- Отрицательные интервалы: \((-\infty, -2)\) и \((-1, 0)\)
- Точки с нулевым произведением: \(x = -2,\; -1,\; 0\)
Объединение:
\[ (-\infty, -2] \cup [-1, 0]. \]✅ Окончательный ответ
\[
\boxed{(-\infty; -2] \cup [-1; 0]}
\]
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = -2\): второй множитель = 0 ⇒ левая часть = 0 (верно)
- \(x = -1\): второй множитель = 0 ⇒ левая часть = 0 (верно)
- \(x = 0\): первый множитель = 0 ⇒ левая часть = 0 (верно)
- \(x = -3\): первый множитель отрицателен, второй положителен ⇒ произведение отрицательно (верно)
- \(x = -0.5\): первый множитель отрицателен, второй положителен ⇒ произведение отрицательно (верно)
🧩 План решения:
- Разложить все степени на 3 и 5.
- Сгруппировать и ввести замену \(a = 3^x,\; b = 5^x\).
- Выделить общий множитель \((b — a)\).
- Вернуться к \(x\) и исследовать знаки двух сомножителей.
- Для второго сомножителя решить квадратное уравнение относительно \(3^x\).
- Построить таблицу знаков и выбрать интервалы, где произведение \(\le 0\).