ЕГЭ 15-в20. Логарифмическое неравенство

\[ \log_7(49x^2) = \log_7 49 + \log_7 x^2 = 2 + 2\log_7 x \]

Числитель: \(2 + 2\log_7 x — 7 = 2\log_7 x — 5\)

Неравенство:

\[ \frac{2\log_7 x — 5}{\log_7^2 x — 4} \le 1 \]

Пусть \(t = \log_7 x\). Тогда \(\log_7^2 x = t^2\).

\[ \frac{2t — 5}{t^2 — 4} \le 1,\quad t \neq \pm 2 \]

\[ \frac{2t — 5}{t^2 — 4} — 1 \le 0 \] \[ \frac{2t — 5 — (t^2 — 4)}{t^2 — 4} \le 0 \] \[ \frac{-t^2 + 2t — 1}{t^2 — 4} \le 0 \]

Знак неравенства меняется:

\[ \frac{t^2 — 2t + 1}{t^2 — 4} \ge 0 \]

Заметим: \(t^2 — 2t + 1 = (t-1)^2\)

Числитель \((t-1)^2 \ge 0\) всегда, ноль при \(t = 1\).

Знаменатель \(t^2 — 4 = (t-2)(t+2)\):

• \(>0\) при \(t < -2\) или \(t > 2\)
• \(<0\) при \(-2 < t < 2\)
• \(=0\) при \(t = \pm 2\) (исключаем)

Дробь \(\ge 0\):

• При \(t < -2\) или \(t > 2\): знаменатель \(>0\) → дробь \(\ge 0\)
• При \(-2 < t < 2\): знаменатель \(<0\) → дробь \(\ge 0\) только если числитель \(=0\), т.е. \(t = 1\)

Решение для \(t\):

\[ t \in (-\infty, -2) \cup \{1\} \cup (2, \infty) \]

• \(t < -2 \Rightarrow 0 < x < 7^{-2} = \frac{1}{49}\)
• \(t = 1 \Rightarrow x = 7^1 = 7\)
• \(t > 2 \Rightarrow x > 7^2 = 49\)