\[
\log_5^2(25 — x^2) — 3\log_5(25 — x^2) + 2 \ge 0
\]
📘 Необходимые сведения
- Область определения логарифма: \(\log_a f(x)\) определён при \(f(x) > 0\).
- Монотонность: при основании \(a > 1\) функция \(\log_a t\) возрастает.
- Квадратичная замена: если выражение содержит \(\log_a^2(\dots)\) и \(\log_a(\dots)\), удобно ввести новую переменную \(t = \log_a(\dots)\).
1. Область допустимых значений (ОДЗ)
Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
\[ 25 — x^2 > 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 < 25 \quad\Rightarrow\quad -5 < x < 5. \]Таким образом, ОДЗ: \(x \in (-5,\; 5)\).
2. Замена \(t = \log_5(25 — x^2)\)
Пусть \(t = \log_5(25 — x^2)\). Тогда неравенство превращается в квадратичное относительно \(t\):
\[ t^2 — 3t + 2 \ge 0. \]3. Решаем \(t^2 — 3t + 2 \ge 0\)
Разложим на множители:
\[ t^2 — 3t + 2 = (t — 1)(t — 2). \]Неравенство \((t-1)(t-2) \ge 0\) даёт:
\[ t \le 1 \quad \text{или} \quad t \ge 2. \]4. Случай \(t \le 1\)
Возвращаемся к определению \(t\):
\[ \log_5(25 — x^2) \le 1. \]Так как основание \(5 > 1\), логарифмическая функция возрастает, поэтому:
\[ 25 — x^2 \le 5^1 = 5. \] \[ 25 — x^2 \le 5 \quad\Rightarrow\quad -x^2 \le -20 \quad\Rightarrow\quad x^2 \ge 20. \] \[ |x| \ge \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.472. \]С учётом ОДЗ \(-5 < x < 5\) получаем:
\[ x \in (-5,\; -2\sqrt{5}] \;\cup\; [2\sqrt{5},\; 5). \]5. Случай \(t \ge 2\)
Аналогично:
\[ \log_5(25 — x^2) \ge 2 \quad\Rightarrow\quad 25 — x^2 \ge 5^2 = 25. \] \[ 25 — x^2 \ge 25 \quad\Rightarrow\quad -x^2 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 \le 0. \]Единственное решение: \(x = 0\) (проверяем ОДЗ: \(0 \in (-5,5)\) — подходит).
6. Объединяем полученные промежутки
Из первого случая: \((-5,\,-2\sqrt{5}] \cup [2\sqrt{5},\,5)\).
Из второго случая: \(\{0\}\).
Итоговое решение:
\[ x \in (-5,\,-2\sqrt{5}] \;\cup\; \{0\} \;\cup\; [2\sqrt{5},\,5). \]✅ Окончательный ответ
\[
\boxed{(-5,\,-2\sqrt{5}] \cup \{0\} \cup [2\sqrt{5},\,5)}
\]
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = -2\sqrt{5}\): \(25 — x^2 = 25 — 20 = 5\), \(\log_5 5 = 1\), подставляем в исходное: \(1 — 3 + 2 = 0\) — верно (включаем).
- \(x = 2\sqrt{5}\): аналогично, значение 0 — включаем.
- \(x = 0\): \(25 — 0 = 25\), \(\log_5 25 = 2\), \(4 — 6 + 2 = 0\) — верно.
- \(x = -4\) (приблизительно \(-4 < -2\sqrt{5}\)): \(25 - 16 = 9\), \(\log_5 9 \approx 1.365 < 1\)? Нет, \(\log_5 9 > 1\)? Проверим: \(5^{1.365} \approx 8.9\), значит \(\log_5 9 \approx 1.365 > 1\), но нам нужно \(t \le 1\) или \(t \ge 2\). При \(x=-4\), \(t \approx 1.365\) не удовлетворяет ни одному условию — значит, \(x=-4\) не входит (что правильно, так как -4 лежит между \(-2\sqrt{5}\) и 0, а этот интервал не включён).
📊 Соответствие \(t\) и \(x\)
| Условие для \(t\) | Неравенство для \(x\) | Решение с учётом ОДЗ |
|---|---|---|
| \(t \le 1\) | \(25 — x^2 \le 5\) \(\Rightarrow\) \(x^2 \ge 20\) | \((-5, -2\sqrt{5}] \cup [2\sqrt{5}, 5)\) |
| \(t \ge 2\) | \(25 — x^2 \ge 25\) \(\Rightarrow\) \(x^2 \le 0\) | \(\{0\}\) |
🧩 План решения:
- Найти ОДЗ: \(-5 < x < 5\).
- Замена \(t = \log_5(25 — x^2)\) — получаем квадратное неравенство \(t^2 — 3t + 2 \ge 0\).
- Решить квадратное неравенство: \(t \le 1\) или \(t \ge 2\).
- Вернуться к \(x\) для каждого случая, используя монотонность логарифма.
- Объединить результаты с учётом ОДЗ.