\[
(x — 7) \log_{x+3}(x + 1) \cdot \log_3(x + 3)^3 \le 0
\]
📘 Теоретическая база
- Область определения логарифма: \(\log_a b\) определён при \(a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0\).
- Свойство степени: \(\log_a b^k = k \log_a b\).
- Знак логарифма с основанием \(>1\): \(\log_a b > 0\) при \(b > 1\), \(\log_a b < 0\) при \(0 < b < 1\).
- Монотонность: при \(a > 1\) функция \(\log_a t\) возрастает.
1. Область допустимых значений (ОДЗ)
Рассмотрим каждый логарифм:
- \(\log_{x+3}(x+1)\):
- основание \(x+3 > 0 \Rightarrow x > -3\)
- основание \(x+3 \ne 1 \Rightarrow x \ne -2\)
- аргумент \(x+1 > 0 \Rightarrow x > -1\)
- \(\log_3(x+3)^3\): аргумент \((x+3)^3 > 0 \Rightarrow x+3 > 0 \Rightarrow x > -3\).
Пересечение: \(x > -1\).
✅ ОДЗ: \(x \in (-1, \infty)\).
2. Упрощаем второй логарифм
Используем свойство степени:
\[ \log_3(x+3)^3 = 3 \log_3(x+3). \]Неравенство принимает вид:
\[ (x — 7) \cdot \log_{x+3}(x+1) \cdot 3 \log_3(x+3) \le 0. \]Множитель \(3 > 0\) можно отбросить (не влияет на знак):
\[
(x — 7) \cdot \log_{x+3}(x+1) \cdot \log_3(x+3) \le 0.
\]
3. Знак \(\log_3(x+3)\) на ОДЗ
Основание \(3 > 1\), функция возрастает.
\[ \log_3(x+3) = 0 \ \Rightarrow\ x+3 = 1 \ \Rightarrow\ x = -2 \ (\text{вне ОДЗ}). \]При \(x > -1\) имеем \(x+3 > 2 > 1\), значит:
\[ \log_3(x+3) > 0 \quad \text{на всей ОДЗ}. \]Следовательно, этот множитель всегда положителен и его можно отбросить.
4. Неравенство сводится к
\[
(x — 7) \cdot \log_{x+3}(x+1) \le 0.
\]
5. Знак \(\log_{x+3}(x+1)\)
На ОДЗ основание \(x+3 > 2 > 1\), поэтому логарифмическая функция возрастает по аргументу.
Находим точку, где логарифм равен нулю:
\[ \log_{x+3}(x+1) = 0 \ \Rightarrow\ x+1 = 1 \ \Rightarrow\ x = 0. \]- При \(-1 < x < 0\): \(0 < x+1 < 1\) ⇒ логарифм отрицателен.
- При \(x = 0\): логарифм равен 0.
- При \(x > 0\): \(x+1 > 1\) ⇒ логарифм положителен.
6. Знаки \((x-7) \cdot \log_{x+3}(x+1)\)
Точки смены знака: \(x = 0\) (из логарифма) и \(x = 7\) (из \(x-7\)).
| Интервал | \(x-7\) | \(\log_{x+3}(x+1)\) | Произведение |
|---|---|---|---|
| \((-1, 0)\) | – | – | + |
| \(x = 0\) | – | 0 | 0 |
| \((0, 7)\) | – | + | – |
| \(x = 7\) | 0 | + | 0 |
| \((7, \infty)\) | + | + | + |
Неравенство \(\le 0\) выполняется там, где произведение отрицательно или равно нулю.
7. Объединяем решение
- Интервал с отрицательным произведением: \((0, 7)\).
- Точки с нулевым произведением: \(x = 0\) и \(x = 7\).
Получаем:
\[ [0, 7]. \]ОДЗ \(x > -1\) включает этот отрезок полностью.
✅ Окончательный ответ
\[
\boxed{[0, 7]}
\]
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = 0\): \((0-7) \cdot \log_3(1) \cdot \log_3(3)^3 = (-7) \cdot 0 \cdot 3 = 0\) — верно.
- \(x = 7\): \((7-7) \cdot \log_{10}(8) \cdot \log_3(10)^3 = 0\) — верно.
- \(x = 3\) (внутри интервала): \((-4) \cdot \log_6(4) \cdot \log_3(6)^3\). \(\log_6 4 > 0\), \(\log_3 6 > 0\), произведение отрицательно — верно.
- \(x = -0.5\) (вне интервала): \((-7.5) \cdot \log_{2.5}(0.5) \cdot \log_3(2.5)^3\). \(\log_{2.5}0.5 < 0\), произведение двух отрицательных даёт плюс — не подходит.
🧩 План решения:
- Найти ОДЗ: \(x > -1\).
- Упростить \(\log_3(x+3)^3 = 3\log_3(x+3)\).
- Заметить, что \(\log_3(x+3) > 0\) на ОДЗ, отбросить.
- Остаётся \((x-7) \cdot \log_{x+3}(x+1) \le 0\).
- Исследовать знак \(\log_{x+3}(x+1)\): \(=0\) при \(x=0\), отрицателен при \(-1 < x < 0\), положителен при \(x > 0\).
- Построить таблицу знаков с учётом \(x-7\).
- Выбрать интервалы с произведением \(\le 0\): \([0, 7]\).