\(\lg x = \log_{10} x\)
📘 Необходимые сведения
- Область определения логарифма: \(\lg x\) определён при \(x > 0\).
- Квадратичная замена: если выражение содержит \(\lg^2 x\), удобно ввести \(t = \lg x\).
- Решение рациональных неравенств: переносим всё в одну сторону, приводим к общему знаменателю, исследуем знаки методом интервалов.
1. Область допустимых значений (ОДЗ)
Из определения логарифма: \(x > 0\).
Знаменатель не должен обращаться в ноль:
\[ \lg^2 x — 4 \neq 0 \quad\Rightarrow\quad \lg^2 x \neq 4 \quad\Rightarrow\quad \lg x \neq \pm 2. \]Таким образом, ОДЗ:
\[ x > 0,\quad x \neq 10^{-2},\quad x \neq 10^{2}. \]То есть \(x \in (0, 0.01) \cup (0.01, 100) \cup (100, \infty)\).
2. Замена \(t = \lg x\)
Пусть \(t = \lg x\). Тогда \(t \in \mathbb{R}\), \(t \neq \pm 2\).
Неравенство принимает вид:
\[ \frac{3t^2 — 8}{t^2 — 4} \ge 2. \]3. Приводим к стандартному виду
Переносим 2 в левую часть:
\[ \frac{3t^2 — 8}{t^2 — 4} — 2 \ge 0. \]Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{3t^2 — 8 — 2(t^2 — 4)}{t^2 — 4} \ge 0. \]Упрощаем числитель:
\[ 3t^2 — 8 — 2t^2 + 8 = t^2. \]Получаем:
4. Анализ знака \(\frac{t^2}{t^2 — 4}\)
Числитель \(t^2 \ge 0\) для всех \(t\), причём \(t^2 = 0\) только при \(t = 0\).
Знаменатель \(t^2 — 4 = (t-2)(t+2)\) меняет знак в точках \(t = -2\) и \(t = 2\).
| Интервал | \(t^2\) | \(t^2-4\) | Знак дроби |
|---|---|---|---|
| \((-\infty, -2)\) | + | + | + |
| \(t = -2\) | + | 0 | искл. |
| \((-2, 0)\) | + | – | – |
| \(t = 0\) | 0 | – | 0 |
| \((0, 2)\) | + | – | – |
| \(t = 2\) | + | 0 | искл. |
| \((2, \infty)\) | + | + | + |
Неравенство \(\ge 0\) выполняется там, где дробь положительна или равна нулю.
Решение для \(t\):
\[ t \in (-\infty, -2) \cup \{0\} \cup (2, \infty). \]5. Возвращаемся к \(x\)
Учитываем, что \(t = \lg x\) и \(x > 0\).
- \(t < -2 \ \Rightarrow\ \lg x < -2 \ \Rightarrow\ 0 < x < 10^{-2} = 0.01\).
- \(t = 0 \ \Rightarrow\ \lg x = 0 \ \Rightarrow\ x = 1\).
- \(t > 2 \ \Rightarrow\ \lg x > 2 \ \Rightarrow\ x > 100\).
Не забываем про исключённые точки из ОДЗ: \(x = 0.01\) и \(x = 100\) не входят в решение (они соответствуют \(t = -2\) и \(t = 2\), которые были исключены).
6. Итоговое решение
В более точной записи:
\[ (0,\,10^{-2}) \cup \{1\} \cup (100,\,+\infty). \]✅ Окончательный ответ
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = 0.01\) (не входит, т.к. \(\lg x = -2\) — знаменатель исходной дроби обращается в ноль).
- \(x = 1\): \(\lg 1 = 0\), подставляем в исходное: \((0 — 8)/(0 — 4) = (-8)/(-4) = 2\) — верно (равенство).
- \(x = 100\) (не входит, т.к. \(\lg x = 2\) — знаменатель равен нулю).
- \(x = 0.001\) (меньше 0.01): \(\lg x = -3\), \((27-8)/(9-4) = 19/5 = 3.8 > 2\) — верно.
- \(x = 1000\) (больше 100): \(\lg x = 3\), \((27-8)/(9-4) = 19/5 > 2\) — верно.
📊 Соответствие \(t\) и \(x\)
| \(t\) | \(x = 10^t\) | Входит в ответ? |
|---|---|---|
| \((-\infty, -2)\) | \((0, 0.01)\) | ✅ да |
| \(t = -2\) | \(0.01\) | ❌ нет (знаменатель 0) |
| \((-2, 0)\) | \((0.01, 1)\) | ❌ нет |
| \(t = 0\) | \(1\) | ✅ да |
| \((0, 2)\) | \((1, 100)\) | ❌ нет |
| \(t = 2\) | \(100\) | ❌ нет (знаменатель 0) |
| \((2, \infty)\) | \((100, \infty)\) | ✅ да |
🧩 План решения:
- Найти ОДЗ: \(x > 0,\ \lg x \neq \pm 2\).
- Замена \(t = \lg x\) — сводим к рациональному неравенству.
- Приводим к виду \(\frac{t^2}{t^2-4} \ge 0\).
- Метод интервалов для \(t\): \(t \in (-\infty,-2) \cup \{0\} \cup (2,\infty)\).
- Обратная замена: \(x = 10^t\) с учётом ОДЗ.