\[
1 + \frac{11}{2^x — 8} + \frac{28}{4^x — 2^{x+4} + 64} \ge 0
\]
📘 Необходимые сведения
- \(4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\).
- \(2^{x+4} = 2^x \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^x\).
- Замена переменной \(t = 2^x > 0\) позволяет свести показательное выражение к рациональному.
- Квадрат \((t-8)^2\) всегда неотрицателен и обращается в ноль при \(t=8\).
1. Упрощаем третий знаменатель
Заметим:
\[ 4^x — 2^{x+4} + 64 = 2^{2x} — 16 \cdot 2^x + 64. \]Введём замену \(t = 2^x > 0\). Тогда \(2^{2x} = t^2\).
Третий знаменатель принимает вид:
\[ t^2 — 16t + 64 = (t — 8)^2. \]2. Неравенство после замены
Подставляем в исходное неравенство:
\[ 1 + \frac{11}{t — 8} + \frac{28}{(t — 8)^2} \ge 0,\quad t > 0,\ t \neq 8. \]3. Приводим к общему знаменателю
Общий знаменатель \((t — 8)^2\):
\[ \frac{(t — 8)^2 + 11(t — 8) + 28}{(t — 8)^2} \ge 0. \]Раскрываем скобки в числителе:
\[ (t^2 — 16t + 64) + 11t — 88 + 28 = t^2 — 5t + 4. \]Получаем:
\[
\frac{t^2 — 5t + 4}{(t — 8)^2} \ge 0.
\]
4. Разложение числителя на множители
\[
t^2 — 5t + 4 = (t — 1)(t — 4).
\]
Знаменатель \((t — 8)^2\) всегда \(\ge 0\) и равен нулю только при \(t = 8\) (исключено).
Таким образом, знак дроби полностью определяется знаком числителя \((t — 1)(t — 4)\).
5. Решаем неравенство \((t — 1)(t — 4) \ge 0\)
Корни: \(t = 1\), \(t = 4\).
Решение квадратичного неравенства:
\[ t \le 1 \quad \text{или} \quad t \ge 4. \]С учётом \(t > 0\) и \(t \neq 8\):
\[ t \in (0, 1] \cup [4, 8) \cup (8, \infty). \]6. Возвращаемся к переменной \(x\) (\(t = 2^x\))
- \(0 < t \le 1\) \(\Rightarrow\) \(2^x \le 1\) \(\Rightarrow\) \(x \le 0\).
- \(4 \le t < 8\) \(\Rightarrow\) \(2^2 \le 2^x < 2^3\) \(\Rightarrow\) \(2 \le x < 3\).
- \(t > 8\) \(\Rightarrow\) \(2^x > 8\) \(\Rightarrow\) \(x > 3\).
7. Объединяем полученные промежутки
\[
x \in (-\infty, 0] \cup [2, 3) \cup (3, \infty).
\]
Точка \(x = 3\) исключена, так как \(t = 8\) приводит к нулю в знаменателе \((t-8)^2\).
✅ Окончательный ответ
\[
\boxed{(-\infty, 0] \cup [2, 3) \cup (3, \infty)}
\]
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = 0\): \(2^0 = 1\), числитель \((1-1)(1-4) = 0\), знаменатель \((1-8)^2 \neq 0\) ⇒ дробь = 0, исходное неравенство: \(1 + \frac{11}{-7} + \frac{28}{49} = 1 — \frac{11}{7} + \frac{4}{7} = 1 — 1 = 0\) — верно.
- \(x = 2\): \(2^2 = 4\), числитель \((4-1)(4-4) = 0\), знаменатель \((4-8)^2 \neq 0\) ⇒ дробь = 0, исходное: \(1 + \frac{11}{-4} + \frac{28}{16} = 1 — 2.75 + 1.75 = 0\) — верно.
- \(x = 3\): \(2^3 = 8\) — знаменатель \((8-8)^2 = 0\) ⇒ не входит.
- \(x = -1\): \(2^{-1} = 0.5\), \((0.5-1)(0.5-4) = (-0.5)(-3.5) = 1.75 > 0\), знаменатель положителен ⇒ дробь положительна ⇒ исходное > 0 — верно.
- \(x = 2.5\): \(2^{2.5} \approx 5.657\), \((5.657-1)(5.657-4) \approx (4.657)(1.657) > 0\), знаменатель положителен ⇒ дробь положительна ⇒ исходное > 0 — верно.
📊 Соответствие \(t\) и \(x\)
| \(t\) | \(x = \log_2 t\) | Входит в ответ? |
|---|---|---|
| \((0, 1]\) | \((-\infty, 0]\) | ✅ да |
| \((1, 4)\) | \((0, 2)\) | ❌ нет |
| \([4, 8)\) | \([2, 3)\) | ✅ да |
| \(t = 8\) | \(3\) | ❌ нет |
| \((8, \infty)\) | \((3, \infty)\) | ✅ да |
🧩 План решения:
- Замена \(t = 2^x\) и упрощение третьего знаменателя до \((t-8)^2\).
- Приведение к общему знаменателю \((t-8)^2\).
- Упрощение числителя до \(t^2 — 5t + 4 = (t-1)(t-4)\).
- Решение \((t-1)(t-4) \ge 0\) с учётом \(t>0,\ t\neq 8\).
- Обратная замена \(x = \log_2 t\) и запись ответа.