📘 Теоретическая база
- Область определения логарифма: \(\log_a b\) определён при \(a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0\).
- Свойство суммы: \(\log_a p + \log_a q = \log_a (pq)\).
- Монотонность: если \(0 < a < 1\), функция \(\log_a t\) убывает, поэтому \(\log_a A \le \log_a B \Rightarrow A \ge B\).
1. Область допустимых значений (ОДЗ)
Все аргументы логарифмов должны быть положительными:
- \((4 — x)(x^2 + 29) > 0\):
- \(x^2 + 29 > 0\) всегда, поэтому \(4 — x > 0 \Rightarrow x < 4\).
- \(x^2 — 10x + 24 > 0\):
- Разложим: \((x-4)(x-6) > 0 \Rightarrow x < 4\) или \(x > 6\).
- \(7 — x > 0 \Rightarrow x < 7\).
Пересекаем все условия: \(x < 4\) (условие \(x > 6\) противоречит \(x < 4\)).
✅ ОДЗ: \(x \in (-\infty, 4)\).
2. Сворачиваем правую часть
Используем свойство суммы логарифмов:
\[ \log_{\frac{1}{3}}(x^2 — 10x + 24) + \log_{\frac{1}{3}}(7 — x) = \log_{\frac{1}{3}}\bigl((x^2 — 10x + 24)(7 — x)\bigr). \]Неравенство принимает вид:
\[ \log_{\frac{1}{3}}((4 — x)(x^2 + 29)) \leq \log_{\frac{1}{3}}\bigl((x^2 — 10x + 24)(7 — x)\bigr). \]3. Избавляемся от логарифмов (основание \( \frac{1}{3} < 1 \))
Так как \(0 < \frac{1}{3} < 1\), логарифмическая функция убывает. Поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
\[ (4 — x)(x^2 + 29) \ge (x^2 — 10x + 24)(7 — x). \]4. Раскрываем скобки
Левая часть:
\[ (4 — x)(x^2 + 29) = 4x^2 + 116 — x^3 — 29x. \]Правая часть: сначала \((x^2 — 10x + 24)(7 — x) = (x^2 — 10x + 24)\cdot 7 — (x^2 — 10x + 24)\cdot x\):
\[ 7x^2 — 70x + 168 — (x^3 — 10x^2 + 24x) = -x^3 + 17x^2 — 94x + 168. \]5. Переносим всё в левую часть
Вычитаем правую часть из левой:
\[ (4x^2 + 116 — x^3 — 29x) — (-x^3 + 17x^2 — 94x + 168) \ge 0. \]Раскрываем скобки и упрощаем:
\[ 4x^2 + 116 — x^3 — 29x + x^3 — 17x^2 + 94x — 168 \ge 0. \]Сокращаем \(-x^3 + x^3\), приводим подобные:
\[ (4x^2 — 17x^2) + (-29x + 94x) + (116 — 168) = -13x^2 + 65x — 52 \ge 0. \]Умножаем на \(-1\) (меняем знак неравенства):
\[ 13x^2 — 65x + 52 \le 0. \]Делим на 13:
\[ x^2 — 5x + 4 \le 0. \]6. Решаем \(x^2 — 5x + 4 \le 0\)
Разложим на множители:
\[ x^2 — 5x + 4 = (x — 1)(x — 4). \]Корни: \(x = 1,\ x = 4\). Ветви параболы вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:
\[ x \in [1, 4]. \]7. Пересекаем с ОДЗ
ОДЗ: \(x < 4\). Пересекаем \([1, 4]\) с \(x < 4\):
\[ [1, 4). \]Точка \(x = 4\) исключена (обращает в ноль аргумент \(x^2 — 10x + 24\)).
✅ Окончательный ответ
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = 1\): \((4-1)(1+29) = 3 \cdot 30 = 90\); \((1-10+24)(7-1) = 15 \cdot 6 = 90\); логарифмы равны, неравенство выполняется как равенство.
- \(x = 4\): не входит в ОДЗ (\(x^2 — 10x + 24 = 0\)).
- \(x = 2\) (внутри интервала): \((4-2)(4+29) = 2 \cdot 33 = 66\); \((4-20+24)(7-2) = 8 \cdot 5 = 40\); \(66 \ge 40\) — верно.
📊 Сравнение левой и правой частей
| \(x\) | \((4-x)(x^2+29)\) | \((x^2-10x+24)(7-x)\) | Выполнение \(\ge\) |
|---|---|---|---|
| \(x = 1\) | 90 | 90 | равенство |
| \(x = 2\) | 66 | 40 | да |
| \(x = 3\) | 38 | 12 | да |
| \(x = 3.9\) | ≈ 7.1 | ≈ 0.91 | да |
🧩 План решения:
- Найти ОДЗ: \(x < 4\).
- Сложить логарифмы справа.
- Учесть убывание основания \( \frac{1}{3} \) — перейти к неравенству для аргументов с обратным знаком.
- Раскрыть скобки и привести подобные.
- Получить квадратное неравенство \(x^2 — 5x + 4 \le 0\).
- Решить его: \([1, 4]\).
- Наложить ОДЗ: \([1, 4)\).