\[
\frac{2^{x+1} — 17 \cdot 2^{2-x}}{2^x — 2^{6-x}} \ge 1
\]
📘 Необходимые сведения
- \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\)
- \(a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}\)
- Замена \(t = 2^x > 0\) позволяет свести показательное выражение к рациональному.
1. Упрощаем степени и вводим замену
Запишем каждое слагаемое через \(2^x\):
\[ 2^{x+1} = 2 \cdot 2^x,\quad 2^{2-x} = \frac{2^2}{2^x} = \frac{4}{2^x},\quad 2^{6-x} = \frac{2^6}{2^x} = \frac{64}{2^x}. \]Пусть \(t = 2^x > 0\). Тогда:
- Числитель: \(2t — 17 \cdot \frac{4}{t} = 2t — \frac{68}{t}\).
- Знаменатель: \(t — \frac{64}{t}\).
Неравенство принимает вид:
\[ \frac{2t — \frac{68}{t}}{t — \frac{64}{t}} \ge 1. \]2. Умножаем числитель и знаменатель на \(t\)
Так как \(t > 0\), умножение не меняет знак:
\[ \frac{2t^2 — 68}{t^2 — 64} \ge 1. \]3. Приводим к стандартному виду
\[
\frac{2t^2 — 68}{t^2 — 64} — 1 \ge 0,
\]
\[
\frac{2t^2 — 68 — (t^2 — 64)}{t^2 — 64} \ge 0,
\]
\[
\frac{2t^2 — 68 — t^2 + 64}{t^2 — 64} \ge 0,
\]
\[
\frac{t^2 — 4}{t^2 — 64} \ge 0.
\]
4. Раскладываем числитель и знаменатель
\[
\frac{(t-2)(t+2)}{(t-8)(t+8)} \ge 0.
\]
Так как \(t > 0\), множители \(t+2 > 0\) и \(t+8 > 0\) всегда положительны. Их можно сократить (они не влияют на знак).
Получаем эквивалентное неравенство:
\[ \frac{t-2}{t-8} \ge 0. \]5. Решаем \(\frac{t-2}{t-8} \ge 0\) при \(t>0\)
Нули: \(t = 2\). Знаменатель обращается в ноль при \(t = 8\) (исключаем).
| Интервал | \(t-2\) | \(t-8\) | Знак дроби |
|---|---|---|---|
| \((0, 2)\) | – | – | + |
| \(t = 2\) | 0 | – | 0 |
| \((2, 8)\) | + | – | – |
| \(t = 8\) | + | 0 | искл. |
| \((8, \infty)\) | + | + | + |
Решение: \(t \in (0, 2] \cup (8, \infty)\).
6. Возвращаемся к \(x\) (\(t = 2^x\))
- \(0 < 2^x \le 2\) \(\Rightarrow\) \(x \le 1\) (так как \(2^x\) возрастает).
- \(2^x > 8\) \(\Rightarrow\) \(x > 3\).
7. Итоговое решение
\[
x \in (-\infty, 1] \cup (3, \infty).
\]
✅ Окончательный ответ
\[
\boxed{(-\infty, 1] \cup (3, \infty)}
\]
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = 1\): \(2^1 = 2\), подставляем в исходное: числитель \(2\cdot2 — 68/2 = 4 — 34 = -30\), знаменатель \(2 — 64/2 = 2 — 32 = -30\), дробь \((-30)/(-30) = 1\) — верно.
- \(x = 3\): \(2^3 = 8\) — знаменатель \(8 — 64/8 = 8 — 8 = 0\) ⇒ не входит.
- \(x = 0\): \(2^0 = 1\), числитель \(2 — 68 = -66\), знаменатель \(1 — 64 = -63\), дробь \((-66)/(-63) > 1\) — верно.
- \(x = 4\): \(2^4 = 16\), числитель \(32 — 68/16 = 32 — 4.25 = 27.75\), знаменатель \(16 — 4 = 12\), дробь \(27.75/12 > 1\) — верно.
📊 Соответствие \(t\) и \(x\)
| \(t\) | \(x = \log_2 t\) | Входит в ответ? |
|---|---|---|
| \((0, 2]\) | \((-\infty, 1]\) | ✅ да |
| \((2, 8)\) | \((1, 3)\) | ❌ нет |
| \(t = 8\) | \(3\) | ❌ нет |
| \((8, \infty)\) | \((3, \infty)\) | ✅ да |
🧩 План решения:
- Выразить все степени через \(2^x\) и ввести замену \(t = 2^x > 0\).
- Умножить числитель и знаменатель на \(t\), чтобы избавиться от дробей.
- Перенести 1 влево, привести к общему знаменателю.
- Разложить на множители и сократить положительные множители \(t+2\) и \(t+8\).
- Решить неравенство \(\frac{t-2}{t-8} \ge 0\) методом интервалов.
- Вернуться к \(x\) с помощью логарифмирования.