📘 Теоретическая база
- \(\log_a b^k = k \log_a b\) при \(b > 0\).
- \(\log_a b^2 = 2\log_a |b|\) — важно, если \(b\) может быть отрицательным, но \(b^2 > 0\).
- Знаменатель может обращаться в ноль — это даёт дополнительные исключения.
- Если знаменатель — полный квадрат и положителен везде, кроме точек обнуления, то знак дроби совпадает со знаком числителя.
1. Область допустимых значений (ОДЗ)
Числитель: \(\log_3(3-x)\) и \(\log_3(x+2)\) требуют:
- \(3 — x > 0 \Rightarrow x < 3\)
- \(x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2\)
Знаменатель: \(\log_3 x^2\) и \(\log_3 x^4\) определены при \(x \neq 0\) (так как \(x^2 > 0\) и \(x^4 > 0\) для всех \(x \neq 0\)).
Также знаменатель не должен равняться нулю — найдём эти точки позже.
Предварительное ОДЗ: \(x \in (-2, 3),\; x \neq 0\).
2. Упрощаем знаменатель
Используем свойства логарифмов:
\[ \log_3 x^2 = 2\log_3 |x|,\quad (\log_3 x^2)^2 = 4\log_3^2 |x| \] \[ \log_3 x^4 = 4\log_3 |x| \]Знаменатель принимает вид:
\[ 4\log_3^2 |x| + 4\log_3 |x| + 1 \]Обозначим \(t = \log_3 |x|\). Тогда знаменатель \(= 4t^2 + 4t + 1 = (2t + 1)^2\).
3. Когда знаменатель равен нулю?
\((2t + 1)^2 = 0 \Rightarrow t = -\frac12\), то есть
\[ \log_3 |x| = -\frac12 \Rightarrow |x| = 3^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}. \]Получаем две точки: \(x = \frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(x = -\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Обе лежат в ОДЗ \((-2, 3)\) и не равны 0, поэтому их нужно исключить.
⚠️ Исключаем \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\).
4. Преобразуем числитель
Неравенство:
\[ \frac{\log_3\frac{3-x}{x+2}}{(2\log_3 |x| + 1)^2} \ge 0. \]5. Знак знаменателя на ОДЗ
Знаменатель \((2\log_3 |x| + 1)^2\) — полный квадрат, поэтому он всегда \(\ge 0\).
Он равен нулю только в точках \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\), которые уже исключены.
На всей остальной ОДЗ знаменатель строго положителен.
Следовательно, знак дроби полностью определяется знаком числителя.
6. Решаем \(\log_3\frac{3-x}{x+2} \ge 0\)
Основание \(3 > 1\), поэтому:
\[ \frac{3-x}{x+2} \ge 1. \]На ОДЗ \(x > -2\), значит \(x+2 > 0\), можно умножить:
\[ 3 — x \ge x + 2 \Rightarrow 1 \ge 2x \Rightarrow x \le \frac12. \]7. Пересекаем с ОДЗ и исключаем точки
ОДЗ: \(x \in (-2, 3),\; x \neq 0,\; x \neq \pm \frac{1}{\sqrt{3}}\).
Условие \(x \le 0.5\) даёт:
- \((-2, 0)\) — весь интервал подходит, но из него надо выколоть \(-\frac{1}{\sqrt{3}} \approx -0.577\).
- \((0, 0.5]\) — подходит, точка \(0.5\) входит (числитель = 0, знаменатель не ноль). Точка \(\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577\) не входит, так как она больше 0.5.
Таким образом:
\[ (-2, -\frac{1}{\sqrt{3}}) \cup (-\frac{1}{\sqrt{3}}, 0) \cup (0, 0.5]. \]✅ Окончательный ответ
🔍 Проверка граничных точек:
- \(x = -2\) не входит (строгое неравенство в ОДЗ).
- \(x = -\frac{\sqrt{3}}{3}\) — знаменатель = 0, исключена.
- \(x = 0\) — знаменатель не определён (\(\log_3 0\) не существует), исключена.
- \(x = \frac12\): числитель = 0, знаменатель \(\ne 0\) → дробь = 0, подходит (включена).
📊 Интервалы и знаки
| Интервал | Знак числителя | Знак знаменателя | Знак дроби |
|---|---|---|---|
| \((-2, -\frac{\sqrt{3}}{3})\) | + | + | + |
| \((-\frac{\sqrt{3}}{3}, 0)\) | + | + | + |
| \((0, \frac12)\) | + | + | + |
| \(x = \frac12\) | 0 | + | 0 |
| \((\frac12, 3)\) | – | + | – |
🧩 План решения:
- Найти ОДЗ: \(x \in (-2, 3),\; x \neq 0\).
- Упростить знаменатель: \((\log_3 x^2)^2 = 4\log_3^2 |x|,\; \log_3 x^4 = 4\log_3 |x|\).
- Заметить, что знаменатель = \((2\log_3 |x| + 1)^2 \ge 0\), ноль при \(|x| = 1/\sqrt{3}\).
- Исключить точки \(x = \pm 1/\sqrt{3}\) (знаменатель = 0).
- Так как знаменатель положителен на остальной ОДЗ, знак дроби совпадает со знаком числителя.
- Решить \(\log_3\frac{3-x}{x+2} \ge 0 \Rightarrow x \le 0.5\).
- Пересечь с ОДЗ и исключить точки: \((-2, -1/\sqrt{3}) \cup (-1/\sqrt{3}, 0) \cup (0, 0.5]\).