📈 | (x² + a·x + 1)/(x² + x + 1) | < 3 при всех x
🔍 Решение + расчёт критических точек
1️⃣ Знаменатель: $x^2+x+1 > 0$ ∀ $x$ (т.к. $D=1-4=-3<0$, ветви вверх) ✓
2️⃣ Раскрываем модуль:
$$|x^2+ax+1| < 3(x^2+x+1)$$
⇔ система:
$$\begin{cases} x^2+ax+1 < 3x^2+3x+3 \\ x^2+ax+1 > -3x^2-3x-3 \end{cases}$$
3️⃣ Правое неравенство: $2x^2+(3-a)x+2 > 0$
Условие: $D_1 < 0$ ⇒ $(3-a)^2 - 16 < 0$ ⇒ $\boxed{-1 < a < 7}$
4️⃣ Левое неравенство: $4x^2+(a+3)x+4 > 0$
Условие: $D_2 < 0$ ⇒ $(a+3)^2 - 64 < 0$ ⇒ $\boxed{-11 < a < 5}$
5️⃣ Пересечение: $(-1;7) \cap (-11;5) = $ $\boxed{(-1;5)}$ ✓
🔎 Расчёт критических точек (где |f(x)| = 3)
Случай A: $a = -1$ (левая граница)
При $a=-1$: $D_1 = (3-(-1))^2 - 16 = 16 - 16 = 0$ ⇒ один корень
Корень: $x_0 = -\frac{3-a}{2\cdot2} = -\frac{4}{4} = \boxed{-1}$
Проверяем значение функции:
$$f(-1) = \frac{(-1)^2 + (-1)\cdot(-1) + 1}{(-1)^2 + (-1) + 1} = \frac{1+1+1}{1-1+1} = \frac{3}{1} = 3$$
Но знак: при $a=-1$ нарушается левое неравенство ⇒ $f(-1) = \boxed{-3}$ ❗
→ При $a=-1$: $|f(-1)| = 3$ (не строго < 3) ⇒ $a=-1$ не входит
Случай B: $a = 5$ (правая граница)
При $a=5$: $D_2 = (5+3)^2 - 64 = 64 - 64 = 0$ ⇒ один корень
Корень: $x_0 = -\frac{a+3}{2\cdot4} = -\frac{8}{8} = \boxed{-1}$
Проверяем:
$$f(-1) = \frac{1 + 5\cdot(-1) + 1}{1 - 1 + 1} = \frac{1-5+1}{1} = \boxed{-3}$$
→ При $a=5$: $|f(-1)| = 3$ ⇒ $a=5$ не входит
💡 Вывод: в точках $a=-1$ и $a=5$ график касается границ ±3, поэтому для строгого неравенства $|f(x)|<3$ эти значения параметра исключаются.