𝟙𝟙𝟙…𝟙

Из \(n\) единиц, расставляя "+", получаем сумму. Пример: \(n=10\): 1+1+111+11+11+1=136.

а) Можно ли получить 141 при \(n=60\)?

б) Можно ли при \(n=80\)?

в) Для скольких \(n\) можно?

Группа из \(k\) единиц = \(\frac{10^k-1}{9}\). Если \(m\) групп длин \(k_i\), то сумма:

Умножим на 9: \(\sum 10^{k_i} = 9S + m = 1269 + m\).

Левая часть — сумма степеней 10 (вида 1000...).

Заметим: \(\frac{10^k-1}{9} \equiv k \pmod{9}\). Поэтому:

Для \(S=141\): \(141 \equiv 6 \pmod{9}\).

Необходимо: \(n \equiv 6 \pmod{9}\).

\(n=6\) (остаток 6): перебором — нельзя (максимум 111+11+1+1+1+1=126).

\(n=15\): можно: \(111 + 11 + 11 + 1\cdot8 = 141\) (3+2+2+8=15).

Пусть \(x\) групп по 111, \(y\) групп по 11, \(z\) единиц. Тогда:

Вычитаем: \(108x + 9y = 141 - n\).

Так как \(n \equiv 6 \pmod{9}\), то \(141-n\) делится на 9. Обозначим \(t = \frac{141-n}{9}\).

Нам нужны целые \(x,y,z \ge 0\). Из \(12x + y = t\) и \(z = 141 - 111x - 11y \ge 0\).

Для любого \(t \ge 0\) можно подобрать \(x,y\)? Не совсем: нужно, чтобы \(111x+11y \le 141\).

Наименьшее \(n\) при \(t\) максимальном: \(n = 141 - 9t\).

• \(t=15\) ⇒ \(n=6\) — нет решения (проверено).
• \(t=14\) ⇒ \(n=15\) — есть решение (\(x=1,y=2\)).
• \(t=13\) ⇒ \(n=24\) — есть (\(x=1,y=1\) или \(x=0,y=13\) и т.д.)

Можно доказать, что для всех \(t \le 14\) (т.е. \(n \ge 15\)) решения существуют.

Для любого \(n \ge 15\) с \(n \equiv 6 \pmod{9}\) строим:

• Если \(n = 15 + 9k\), то \(n = 15,24,33,42,\ldots\)

Примеры:

а) n=60: 60 mod 9 = 6, и 60 ≥ 15 ⇒ да (9·11 + 42·1).

б) n=80: 80 mod 9 = 8 ≠ 6 ⇒ нет.

в) Все \(n = 9t + 6\) при \(t \ge 1\) (т.е. 15, 24, 33, …). Таких чисел бесконечно много.