📈 \( 8x^6 + (a — |x|)^3 + 2x^2 — |x| + a = 0 \) более трёх решений
📐 Аналитическое решение с обоснованием границ
Замена: \( t = |x| \ge 0 \). Уравнение преобразуется к виду:
\[ f(t) = 8t^6 + (a — t)^3 + 2t^2 — t + a = 0 \]
🔑 Ключевые значения параметра:
- \(a = 0\): \(f(t) = t(8t^5 — t^2 + 2t — 1)\). Корни: \(t_0 = 0\) и один положительный корень \(t_1 > 0\) (т.к. многочлен \(8t^5 — t^2 + 2t — 1\) меняет знак от \(-1\) до \(+\infty\)). Корни \(x\): \(0, \pm t_1\) → ровно 3 корня. Не удовлетворяет условию «более трёх».
- \(0 < a < \dfrac{1}{8}\): функция \(f(t)\) имеет три различных положительных корня \(t_1 < t_2 < t_3\). Каждый даёт два решения \(x = \pm t_i\) → 6 различных корней \(x\).
- \(a = \dfrac{1}{8}\): в точке \(t = \dfrac{1}{2}\) происходит касание (\(f(t) = 0\) и \(f'(t) = 0\)). Остаётся два различных положительных корня → 4 корня \(x\) (\(\pm t_1, \pm t_2\)), что удовлетворяет условию.
- \(a > \dfrac{1}{8}\): только один положительный корень → 2 корня \(x\).
- \(a < 0\): не более двух корней \(x\).
Проверка кратного корня при \(a = \frac{1}{8}\):
Подставим \(a = \frac{1}{8}\), \(t = \frac{1}{2}\):
\[ f\!\left(\frac{1}{2}\right) = 8\cdot\frac{1}{64} + \left(\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\right)^3 + 2\cdot\frac{1}{4} — \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{1}{8} — \frac{27}{512} + \frac{1}{2} — \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = 0 \]
Производная \(f'(t) = 48t^5 — 3(a-t)^2 + 4t — 1\), при \(a=\frac{1}{8}, t=\frac{1}{2}\):
\[ f’\!\left(\frac{1}{2}\right) = 48\cdot\frac{1}{32} — 3\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{2}\right)^2 + 4\cdot\frac{1}{2} — 1 = \frac{3}{2} — 3\cdot\frac{9}{64} + 2 — 1 = 0 \]
Следовательно, \(t = \frac{1}{2}\) — кратный корень (касание).
✅ Итоговый ответ: уравнение имеет более трёх различных решений тогда и только тогда, когда
\[ a \in \left(0; \dfrac{1}{8}\right] \]
📌 Значение \(a = 0\) исключено (ровно 3 корня), \(a = \frac{1}{8}\) включено (4 корня).