Задача 19. Тренировочный вариант №19.
📋 Условие.На доске написано 30 различных натуральных чисел. Каждое оканчивается на цифру 4 или на цифру 8. Сумма всех чисел равна 2786.
а) Может ли на доске быть поровну чисел, оканчивающихся на 4 и на 8?
б) Может ли ровно четыре числа оканчиваться на 8?
в) Какое наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 8, может быть?
Число, оканчивающееся на 4: \(10k+4\), где \(k\) — целое неотрицательное.
Число, оканчивающееся на 8: \(10m+8\).
где \(a\) — количество чисел на 4, \(b\) — на 8, \(a+b=30\), \(K\) — сумма всех \(k_i\) и \(m_j\).
\(2786 \mod 10 = 6\). Значит, \(4a + 8b\) должно оканчиваться на 6.
\(a = 30 — b\), тогда \(4(30-b) + 8b = 120 + 4b\).
\(4b \mod 10\) даёт: b mod 5 = 4 → 6.
\(b \equiv 4 \pmod{5}\)
Возможные b: 4, 9, 14, 19, 24, 29.
поровну: \(a = b = 15\)
\(b = 15\) не даёт остаток 4 по модулю 5 (15 mod 5 = 0).
Ответ: нет, не может.
ровно четыре числа на 8: \(b = 4\)
\(b = 4\) подходит по остатку. Проверим возможность.
\(a = 26\). \(4a + 8b = 4\cdot26 + 8\cdot4 = 104 + 32 = 136\).
Все \(k_i\) и \(m_j\) должны быть различны (числа различны).
Для 26 чисел на 4: min k = 0..25, сумма = \(\frac{25\cdot26}{2}=325\)
Для 4 чисел на 8: min m = 0..3, сумма = \(0+1+2+3=6\)
\(K_{\min} = 325 + 6 = 331\)
Требуется \(K = 265\), что меньше минимума → невозможно.
Ответ: нет, не может.
наименьшее \(b\)
Возможные b: 4, 9, 14, 19, 24, 29.
b=4: \(K_{\min}=331 > 265\) → нет
b=9: a = 21
- min k (0..20) = \(\frac{20\cdot21}{2}=210\)
- min m (0..8) = \(\frac{8\cdot9}{2}=36\)
- \(K_{\min}=210+36=246\)
- Требуемая K: \(4a+8b = 4\cdot21+8\cdot9 = 156\)
- \(10K = 2786-156=2630 \Rightarrow K=263\)
- 263 > 246 → можно подобрать
Наименьшее b = 9