Задача 19. Тренировочный вариант №18
Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка \([23; 84]\).
Петя увеличил каждое Васино число на 1 и перемножил результаты.
а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?
б) Может ли быть ровно в 6 раз больше?
в) Наибольшее целое число раз?
Пусть Вася выбрал числа \(a_1, a_2, \dots, a_n\) (различные, \(23 \le a_i \le 84\)).
Васин результат: \(V = a_1 \cdot a_2 \cdots a_n\)
Петин результат: \(P = (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_n+1)\)
Для каждого числа \(a\):
- При \(a = 84\): \(1 + \frac{1}{84} \approx 1,0119\)
- При \(a = 23\): \(1 + \frac{1}{23} \approx 1,0435\)
Все множители меньше 1,05. Чтобы получить большое отношение, нужно много чисел.
Если взять все числа от 23 до 84 (62 числа):
Это максимально возможное отношение (добавление любых чисел только увеличивает произведение, но диапазон ограничен).
Значит, \(P/V < 4\).
Если взять все числа от \(L\) до \(R\) (где \(23 \le L < R \le 84\)), то:
Потому что все промежуточные числа сокращаются:
\(\frac{L+1}{L} \cdot \frac{L+2}{L+1} \cdots \frac{R+1}{R} = \frac{R+1}{L}\)
🔎 пункт (а) — ровно в 2 раза
Проверка возможности:
Нужно \(\frac{P}{V} = 2\).
Если взять все числа от \(L\) до \(R\), то \(\frac{R+1}{L} = 2 \Rightarrow R+1 = 2L \Rightarrow R = 2L-1\).
При \(L = 23\): \(R = 45\) (подходит, 45 ≤ 84).
Тогда числа: 23, 24, …, 45. Проверим:
Да, это работает! Все числа от 23 до 45 (23 числа) дают ровно 2.
Примечание: ранее я ошибся, сказав «нет». На самом деле пример существует.
Ответ: да, может. Пример: все числа от 23 до 45.
🔎 пункт (б) — ровно в 6 раз
Нужно \(\frac{P}{V} = 6\).
Из шага 3 максимальное отношение для всех чисел от 23 до 84 равно \(85/23 \approx 3,6957\).
Это меньше 6. Даже если взять не все числа, отношение будет только меньше (так как добавляем множители < 1,05, а убираем — уменьшаем).
Следовательно, \(P/V\) всегда < 4, а 6 > 4.
Ответ: нет, не может.
🔎 пункт (в) — наибольшее целое
Из шага 3: \(P/V < 4\). Значит, возможные целые значения: 1, 2, 3.
1 — тривиально (одно число, но отношение 1 невозможно, так как \((a+1)/a > 1\)).
2 — мы уже нашли пример: числа от 23 до 45.
3 — нужно \(\frac{R+1}{L} = 3 \Rightarrow R+1 = 3L \Rightarrow R = 3L-1\).
Подбираем \(L\) от 23 до 84 так, чтобы \(R \le 84\):
- \(L = 23\): \(R = 68\) (подходит)
- \(L = 24\): \(R = 71\)
- \(L = 25\): \(R = 74\)
- \(L = 26\): \(R = 77\)
- \(L = 27\): \(R = 80\)
- \(L = 28\): \(R = 83\)
Например, числа от 23 до 68:
Значит, 3 достижимо.
4 невозможно, так как для 4 нужно \(R = 4L-1\), при \(L=23\): \(R=91 > 84\).
Ответ: наибольшее целое число раз = 3.
✅ ответы
\(\frac{P}{V} = \frac{46}{23} = 2\)
\(\frac{P}{V} = \frac{69}{23} = 3\)