Задача 19. Тренировочный вариант №20.

Последовательность из неотрицательных однозначных чисел (0…9).

\( M_k \) — среднее арифметическое всех членов, кроме \( k \)-го.

Дано: \( M_1 = 7,\; M_2 = 6 \).

✏️ а) Пример, где \( M_3 = 6{,}4 \).

✏️ б) Существует ли \( M_3 = 5 \)?

✏️ в) Наименьшее возможное \( M_3 \).

Обозначим \( S = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 \).

\( a_i \) — целые, \( 0 \le a_i \le 9 \), \( S \) — целое.

1. Разность: \( a_2 — a_1 = 5(M_1 — M_2) \).
2. Сумма: \( S = a_1 + 5M_1 \). Перебираем \( a_1 \).
3. Для \( M_3 \): \( a_3 = S — 5M_3 \) должно быть от 0 до 9.

\( M_3 = 6{,}4 \)

\( a_3 = S — 5 \cdot 6{,}4 = S — 32 \).

• \( S = 35 \rightarrow a_3 = 3 \)
• \( S = 36 \rightarrow a_3 = 4 \)
• \( S = 37 \rightarrow a_3 = 5 \)
• \( S = 38 \rightarrow a_3 = 6 \)
• \( S = 39 \rightarrow a_3 = 7 \)

Берём \( S = 35\) (значит \( a_1=0, a_2=5 \)), \( a_3 = 3 \).

Сумма первых трёх = 8, остаётся 27 на \( a_4,a_5,a_6 \).

Подойдёт 9, 9, 9.

Последовательность: 0, 5, 3, 9, 9, 9.

Проверка: \( M_3 = \frac{0+5+9+9+9}{5} = \frac{32}{5}=6{,}4\).

\( M_3 = 5 \)

\( a_3 = S — 25 \).

• \( S=35 \rightarrow a_3=10 \) (нет)
• \( S=36 \rightarrow a_3=11 \) (нет)
• \( S=37 \rightarrow a_3=12 \)
• \( S=38 \rightarrow a_3=13 \)
• \( S=39 \rightarrow a_3=14 \)

Ни одно \( a_3 \) не лежит в [0,9].

→ не существует.

наименьшее \( M_3 \)

\( M_3 = \dfrac{S — a_3}{5} \) минимально, когда \( S \) минимальна (35), а \( a_3 \) максимальна (9).

При \( S=35,\; a_3=9 \):

Проверим достижимость: \( a_1=0, a_2=5, a_3=9 \) → сумма \( a_4+a_5+a_6 = 35-14 = 21 \). Например, 9,9,3.

Для \( S=36, a_3=9\): \( M_3=5{,}4\) — больше.

Минимум = \( 5{,}2 \).